Kedjeregeln och potenser utveckling

eddberlu skrev:

I d) denna så gick jag inifrån och ut

$$\begin{gathered} h\left(x\right)=\cos x -> g\text{'}\left(h\right)=-\sin x \\ g\left(h\right)=\sin h-> g\text{'}\left(h\right)= \cos h =\hspace{0.17em}\cos (\cos x) \\ f\left(g\right) =g^2 -> f\text{'}\left(g\right) = 2g = 2\sin (\cos x) \\ Sammansatta funktionen:\hspace{0.17em}2\sin (\cos x)·\cos (\cos x) - \sin x \\ Rätt svar:\hspace{0.17em}2\sin (\cos x)·\cos ({\cos }^2 x) - \sin x \end{gathered}$$
Vart gjorde jag fel? Bevisligen i g(h) men potensen skulle alltså följt med i h? Varför?

Kvadreringen kommer "innanför" sinus-funktionen. Gör det någon skillnad?

eddberlu skrev:

[...]
Vart gjorde jag fel? Bevisligen i g(h) men potensen skulle alltså följt med i h? Varför?

När det står $\sin (\cos x)^2$ så betyder det $\sin((\cos(x))^2)$ (dvs $\sin(\cos^2(x))$) och inte $(\sin(\cos(x)))^2$

Jag tycker att det är olyckligt när funktionsparenteser utelämnas 

Det svar som du skriver som "rätt", stämmer inte.

Sorry, rätt svar är $-2\sin x·\cos x·\cos \left({\cos }^{2}x\right)$
tack

Yngve skrev:

eddberlu skrev:

[...]
Vart gjorde jag fel? Bevisligen i g(h) men potensen skulle alltså följt med i h? Varför?

När det står $\sin (\cos x)^2$ så betyder det $\sin((\cos(x))^2)$ (dvs $\sin(\cos^2(x))$) och inte $(\sin(\cos(x)))^2$

Jag tycker att det är olyckligt när funktionsparenteser utelämnas 

Okej. vad innebär det i själva uträkningen? Jag ser fortfarande inte riktigt felet jag gjorde än. 


om det står ${\sin }^2(\cos x)$, hur blir det då?


EDIT: ser nu att jag inkluderade Sin i g^2

Smaragdalena skrev:

eddberlu skrev:

I d) denna så gick jag inifrån och ut

$$\begin{gathered} h\left(x\right)=\cos x -> g\text{'}\left(h\right)=-\sin x \\ g\left(h\right)=\sin h-> g\text{'}\left(h\right)= \cos h =\hspace{0.17em}\cos (\cos x) \\ f\left(g\right) =g^2 -> f\text{'}\left(g\right) = 2g = 2\sin (\cos x) \\ Sammansatta funktionen:\hspace{0.17em}2\sin (\cos x)·\cos (\cos x) - \sin x \\ Rätt svar:\hspace{0.17em}2\sin (\cos x)·\cos ({\cos }^2 x) - \sin x \end{gathered}$$
Vart gjorde jag fel? Bevisligen i g(h) men potensen skulle alltså följt med i h? Varför?

Kvadreringen kommer "innanför" sinus-funktionen. Gör det någon skillnad?

Ah då blir det -sin x^2 vilket ger derivatan -2sin x

Smaragdalena skrev:

eddberlu skrev:

I d) denna så gick jag inifrån och ut

$$\begin{gathered} h\left(x\right)=\cos x -> g\text{'}\left(h\right)=-\sin x \\ g\left(h\right)=\sin h-> g\text{'}\left(h\right)= \cos h =\hspace{0.17em}\cos (\cos x) \\ f\left(g\right) =g^2 -> f\text{'}\left(g\right) = 2g = 2\sin (\cos x) \\ Sammansatta funktionen:\hspace{0.17em}2\sin (\cos x)·\cos (\cos x) - \sin x \\ Rätt svar:\hspace{0.17em}2\sin (\cos x)·\cos ({\cos }^2 x) - \sin x \end{gathered}$$
Vart gjorde jag fel? Bevisligen i g(h) men potensen skulle alltså följt med i h? Varför?

Kvadreringen kommer "innanför" sinus-funktionen. Gör det någon skillnad?

men då kan jag ta bort f(g) eftersom jag bara gör det till en yttre och en inre?

.

Du har tre funktioner: f(g) = sin(g), g(h) = h² och h(x) = cos x om jag börjar utifrån.

Om jag delar upp de i 2 så blir $$\begin{gathered} \sin {(\cos x)}^2 \\ förstår dock ej hur {(\cos x)}^{2 }-> -\sin x · 2\cos x \end{gathered}$$

eddberlu skrev:

Okej. vad innebär det i själva uträkningen? Jag ser fortfarande inte riktigt felet jag gjorde än. 

Har du fått svar på denna fråga?

eddberlu skrev:

Om jag delar upp de i 2 så blir $$\begin{gathered} \sin {(\cos x)}^2 \\ förstår dock ej hur {(\cos x)}^{2 }-> -\sin x · 2\cos x \end{gathered}$$

Du bör använda funktionsparenteser när du skriver uttryck.

Jag antar nu att du menar sin((cos(x))²).

Om du undrar varför derivatan av (cos(x))² med avseende på x blir -sin(x)•2•cos(x) så är det pga kedjeregeln.

• Inre funktionen v(x) = cos(x), vilket betyder att x-derivatan av v är dv/dx = -sin(x)
• Yttre funktionen u(v) = v², vilket betyder att v-derivatan av u är du/dv = 2v.

Sammantaget, enligt kedjeregeln så blir x-derivatan av u lika med du/dx = du/dv•dv/dx = 2v•(-sin(x)) = {eftersom v = cos(x)} = 2•cos(x)•(-sin(x)) = -2•sin(x)•cos(x).

Ser du att mönstret går igen, på samma sätt som i din andra tråd?

Ja, jag förvirrar mig dock i hur man delar upp dem. Det går bra när det är lättare uppgifter men när de blir lite svårare så verkar jag ha svårt att dela upp dem korrekt. 

eddberlu skrev:

Ja, jag förvirrar mig dock i hur man delar upp dem. Det går bra när det är lättare uppgifter men när de blir lite svårare så verkar jag ha svårt att dela upp dem korrekt. 

Övning ger färdighet. Ta dig an jättemånga liknande uppgifter och fråga oss jättemånga gånger.

Stort stort tack för tålamod och all hjälp!

eddberlu skrev:

Ja, jag förvirrar mig dock i hur man delar upp dem. Det går bra när det är lättare uppgifter men när de blir lite svårare så verkar jag ha svårt att dela upp dem korrekt. 

Så är det ju i alla sammanhang:)

Bara att öva!

Mycket sant

Jag kan ta ett trivialt exempel här som kanske kan hjälpa dig att förstå kedjeregeln bättre.

Vi vet sedan ma3c att derivatan av $y=x^2$ m.a.p $x$ är bara $2x^1=2x$.

Men grejen är ju det att även i det här exemplet används faktiskt kedjeregeln!

Man deriverar först yttrefunktionen och får $2\cdot x^1=2x$. Sedan deriverar man $x$:et, men då derivatan av det är bara $1$, väljer man att inte gå igenom det m.h.a kedjeregeln.

Om funktionen istället skulle vara som följande $y(u)=u^2$, där $u(x)=x$.

om vi nu skulle derivera $y$ m.a.p $x$ så får vi:

Yttrefunktion är: $y(u)=u^2$

Inrefunktion är: $u(x)=x$ (enligt definitionen ovan)

Derivatan m.a.p $x$ blir: yttre derivata*inre derivata= $2u \cdot u'=2u\cdot 1= 2u=2x$.

Hoppas jag inte förvirrade dig :')

Jag blev tyvärr lite förvirrad :( tror det är lättare med att se en exempeluppgift eller så (Förstod att du konstruerade en enkel exempeluppgift dock men den gick mig lite överhuvet).