Kedjeregeln inre och yttre

Prioriteringsreglerna. Potenser går före multiplikation. Därför blir din inre beräkning fel. 

 Men det är inga potenser i min inre beräkning?

Är prioriteringsregeln det största felet eller är det hur jag delade upp den inre och yttre?

Felet i hur du delar upp yttre och inre blev en konsekvens av att du prioritera fel. 

Yttre: 

y(x) = 4x⁶

Inre: 

i(x) = 5x-3

Inre menar du 5t-3 eller hur?

Inte helt säker på att jag förstår hur prioriteringen appliceras här men jag förstår ju att potenser går först osv

Faktorn 4 kan du låta bli då det är en konstant.

Derivera bara (...)^6. Då får produkten "yttre derivata gånger ynre derivata". Sedan multiplicerar du uttrycket du får med 4an bara.

Dunder, tack!!

eddberlu skrev:

Inre menar du 5t-3 eller hur?

Vilken variabel jag använder i uträkningen spelar ingen roll. Det är sedan i svaret det kan vara viktigt. 

eddberlu skrev:

Inte helt säker på att jag förstår hur prioriteringen appliceras här men jag förstår ju att potenser går först osv

Det är bara 5t-3 som är upphöjt till 6. 

Precis som:

$$\begin{gathered} 2{(x+1)}^2 = 2(x^2+2x+1) =\hspace{0.17em}2x^2 +4x+2 \\ 2{(x+1)}^2 \ne {(2x+2)}^2 = 4x^2+8x+4 \end{gathered}$$

Du har säkert koll på det i vanliga fall bara att det blev lite krångligt när du skulle dela upp i yttre och inre.

Det blir lätt rörigt om man använder samma oberoende variabel I både den yttre och den inre funktionen.

Jag rekommenderar att du skriver så här:

Kalla den inre funktionen $g(t)=5t-3$

Då blir den yttre funktionen $f(g)=4g^6$

Vi har då att

• derivatan av den inre funktionen med avseende på $t$ blir $\frac{dg}{dt}=5$
• derivatan av den yttre funktionen med avseende på $g$ blir $\frac{df}{dg}=4\cdot6\cdot g^5=24g^5$

Enligt kedjeregeln gäller att derivatan av $f$ med avseende på $t$ är $\frac{df}{dt}=\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dt}=24g^5\cdot5=120g^5$

Eftersom $g(t)=5t-3$ så får vi att $\frac{df}{dt}=120(5t-3)^5$

mrpotatohead skrev:

eddberlu skrev:

Inte helt säker på att jag förstår hur prioriteringen appliceras här men jag förstår ju att potenser går först osv

Det är bara 5t-3 som är upphöjt till 6. 

Precis som:

$$\begin{gathered} 2{(x+1)}^2 = 2(x^2+2x+1) =\hspace{0.17em}2x^2 +4x+2 \\ 2{(x+1)}^2 \ne {(2x+2)}^2 = 4x^2+8x+4 \end{gathered}$$

---

Du har säkert koll på det i vanliga fall bara att det blev lite krångligt när du skulle dela upp i yttre och inre.

Aah fattar. Superbra förklarat, tack! Ja det blir rörigt för mig. 

Yngve skrev:

Det blir lätt rörigt om man använder samma oberoende variabel I både den yttre och den inre funktionen.

Jag rekommenderar att du skriver så här:

Kalla den inre funktionen $g(t)=5t-3$

Då blir den yttre funktionen $f(g)=4g^6$

Vi har då att

• derivatan av den inre funktionen med avseende på $t$ blir $\frac{dg}{dt}=5$
• derivatan av den yttre funktionen med avseende på $g$ blir $\frac{df}{dg}=4\cdot6\cdot g^5=24g^5$

Enligt kedjeregeln gäller att derivatan av $f$ med avseende på $t$ är $\frac{df}{dt}=\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dt}=24g^5\cdot5=120g^5$

Eftersom $g(t)=5t-3$ så får vi att $\frac{df}{dt}=120(5t-3)^5$

Ah detta kändes också väldigt mycket tydligare. $\frac{dg}{dt}$betyder bara derivatan av g? Hur läser man det som? Läst det i boken men förstod inte helt.

Precis, derivatan av g med avseende på t. Nu kan du tänka funktionens namn i täljaren och variabeln som funktionen innehåller i nämnaren. Vanligast är ju dy/dx.