Kedjeregeln bevis

Jag har lite svårt att förstå följande bevis för kedjeregeln (jag skriver ut hela lemmat nedan):

Lemma:

f(x) är deriverbar i a $\Leftrightarrow$ vi kan skriva $f (a + h) - f (a) = A h + h φ (h)$ , för något tal A där $φ (h) \to 0 d å h \to 0$ .

Observera att A = f'(a).

Det jag inte fattar är varför man kan skriva, h = g(x + k) - g(x), hur vet vi att h uppfyller samma egenskaper som
g(x + k) - g(x), kan vi vara säkra på att likhet alltid uppstår? Eller är det någon variant av sammansättningsregeln man använder?

All hjälp uppskattas, tack!

Vi definierar h som g(x+k)-g(x). Ditt lemma gäller för alla h.

Hej HaCurry,

Du vet att g är deriverbar i punkten x. Då låter lemmat dig skriva

$g(x+k)=g(x)+Bk+k\psi(k)$

där $\psi(k)\to 0$ då $k\to0.$

Egentligen behöver man inte åberopa lemmat vid omformuleringen av differensen $f(g(x+k))-f(g(x)).$

Inför bara beteckningarna $h(k) = g(x+k)-g(x)$ samt $a=g(x).$

Eftersom funktionen $g$ är deriverbar i punkten $x$ så är $g$ även kontinuerlig i punkten $x$ vilket medför att $g(x+k)-g(x) \to 0$ då $k \to 0$ ; därför kan du säga att $h(k)\to 0$ då $k\to 0.$

Då kan du formulera det intressanta gränsvärdet

$\displaystyle\lim_{k\to0} \frac{f(g(x+k))-f(g(x))}{k} = \lim_{k\to0}\frac{f(a+h(k))-f(a)}{k}.$

Enligt lemmat kan du skriva

$f(a+h(k))-f(a) = f^\prime(a)h(k) + \psi(h(k)) h(k)$

där $\psi(h(k)) \to 0$ då $k\to 0$ vilket ger dig det intressanta gränsvärdet

$\displaystyle\lim_{k\to 0} \frac{f^\prime(a) \cdot h(k)}{k} + \lim_{k\to0}\frac{h(k)\psi(h(k))}{k} =f^\prime(a) \cdot \lim_{k\to0} \frac{g(x+k)-g(x)}{k} + \lim_{k\to0} \left\{\frac{g(x+k)-g(x)}{k} \cdot \psi(h(k))\right\}$

Du ser att det intressanta gränsvärdet är lika med

$\displaystyle f^\prime(g(x)) \cdot g^\prime(x) + g^\prime(x) \cdot \lim_{k\to0} \psi(h(k)) = f^\prime(g(x)) \cdot g^\prime(x)$

eftersom $\lim_{k\to0} \psi(h(k)) = 0.$

Albiki skrev:
Egentligen behöver man inte åberopa lemmat vid omformuleringen av differensen $f(g(x+k))-f(g(x)).$
Inför bara beteckningarna $h(k) = g(x+k)-g(x)$ samt $a=g(x).$
Eftersom funktionen $g$ är deriverbar i punkten $x$ så är $g$ även kontinuerlig i punkten $x$ vilket medför att $g(x+k)-g(x) \to 0$ då $k \to 0$ ; därför kan du säga att $h(k)\to 0$ då $k\to 0.$
Då kan du formulera det intressanta gränsvärdet
    $\displaystyle\lim_{k\to0} \frac{f(g(x+k))-f(g(x))}{k} = \lim_{k\to0}\frac{f(a+h(k))-f(a)}{k}.$
Enligt lemmat kan du skriva
    $f(a+h(k))-f(a) = f^\prime(a)h(k) + \psi(h(k)) h(k)$
där $\psi(h(k)) \to 0$ då $k\to 0$ vilket ger dig det intressanta gränsvärdet
    $\displaystyle\lim_{k\to 0} \frac{f^\prime(a) \cdot h(k)}{k} + \lim_{k\to0}\frac{h(k)\psi(h(k))}{k} =f^\prime(a) \cdot \lim_{k\to0} \frac{g(x+k)-g(x)}{k} + \lim_{k\to0} \left\{\frac{g(x+k)-g(x)}{k} \cdot \psi(h(k))\right\}$
Du ser att det intressanta gränsvärdet är lika med
    $\displaystyle f^\prime(g(x)) \cdot g^\prime(x) + g^\prime(x) \cdot \lim_{k\to0} \psi(h(k)) = f^\prime(g(x)) \cdot g^\prime(x)$
eftersom $\lim_{k\to0} \psi(h(k)) = 0.$

Tack igen Albiki, jag ska titta in det du skrev, återkommer om det är något jag inte förstår.

Svara

Visa senaste svar