Kedjeregeln

Jag förstår inte riktigt din fråga...

f(x)=e^x, g(x)=2x+x=3x, f(g(x))=e^(3x)

Varför e^(2x+x) har inre funktionen 2x+x

Om uppgiften är att derivera funktionen f(x)=e^2x+x så skulle jag börja med att förenkla funktionen till f(x)=e^3x, och derivatan skulle bli f'(x)=3e^3x. Om din funktion är något annat, så behöver du skriva den på ett begripligt sätt. 

Det allra enklaste är att skriva $e^{2x+x}$ som $e^{3x}$ och sedan använda en vanlig deriveringsregel (som bygger på kedjeregeln).

Men för att svara på din fråga, du kan skriva $e^{2x+x}$ som $e^u$, där $u=2x+x$.

Enligt kedjeregeln blir då derivatan $e^u\cdot u'$, där $u'$ kallas "inre" derivatan och är lika med derivatan av $u$ med avseende på $x$.

Du kan sedan derivera $u$ på olika sätt:

• Som det står: $u=2x+x$ ger $u'=2+1=3$
• Addera först: $u=3x$ ger $u'=3$

===========

Ett annat sätt är att använda potenslagarna för att skriva $e^{2x+x}=e^{2x}\cdot e^x$.

Du kan då derivera med hjälp av produktregeln.

Gör gärna det för att se om du får samma resultat.

==========

Ett tredje sätt är att skriva $e^{2x+x}=e^{x\cdot3}=(e^x)^3$.

Du har då att uttrycket kan skrivas $u^3$, där $u=e^x$. Derivera med hjälp av kedjeregeln och kontrollera att även detta ger samma resultat.