Kedjeregel, derivering 2

Tvåan innebär att du har $x^2$ i exponenten. Det är inte hela ${\left(x-1\right)}^x$ upphöjt till två som hade behövt vara fallet för att använda kedjeregeln som du vill. (Fast du har inte gjort riktigt rätt även om det skulle vara så)

Tack för svar, skulle du kunna visa hur du menar när du säger att jag inte gjort rätt ändå, om nu kedjeregeln hade kunnat användas, kan du visa hur?

Nu kan ju inte kedjeregeln användas direkt (skriv om med en exponentfunktion istället).

Men om det hade varit upphöjt till två alltihopa (och inte bara på x i exponenten) så hade du fått

$2{\left(x-1\right)}^x\times D\left[{\left(x-1\right)}^x\right]\times 1$ där den sista ettan kommer av att derivera den innersta funktionen (x-1)

Just det, ok, jag gjorde samma nyligen också. Då förstår jag vad du menar. Det är alltså därför man skriver om funktionen på sådan form, att f(x) = e^ln(f(x)) ?

Edit: om man använder denna sida: http://www.derivative-calculator.net/#

Och anger : ((x-1)^x)^2 så ger den ett svar som inte liknar det du skrev tidigare (vilket jag också kom fram till om man deriverar funktionen när hela uttrycket är upphöjt i 2). Där blir svaret, enligt hemsidan, [latex]\left(x-1\right)^{2x}\left(\dfrac{2x}{x-1}+2\ln\left(x-1\right)\right)[/latex]

Kanske redan fått det svar du önskar? Jag bara observerade att det i din första frågeställning ser ut som om uttrycket du ska derivera är ${\left(x-1\right)}^{x^2}$, alltså "kvadreringen" avser endast x i exponenten, medan du i ditt senaste inlägg skriver att du anger "((x-1)^x)^2", vilket borde betyda att kvadreringen avser hela uttrycket. Det är en relevant skillnad och jag antar att det är det förra som gäller i det följande. Principen för själva räknandet blir dock densamma.

Såhär skulle jag göra:

Låt $g\left(x\right)=\ln \left(f\right(x\left)\right)$. Då kan vi utnyttja regeln att $\ln \left(a^b\right)=b\ln \left(a\right)$ för att få $g\left(x\right)=\ln \left(f\right(x\left)\right)=\ln \left(\right(x-1{)}^{x^2})=x^2\ln (x-1)$.

Sedan vet vi från kedjeregeln att $g\text{'}\left(x\right)=\hspace{0.17em}D\left[\ln \left(f\right(x\left)\right)\right]=f\text{'}\left(x\right)·\frac{1}{f\left(x\right)}$, dvs. $f\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)·g\text{'}\left(x\right)$. Detta är ganska tacksamt, eftersom f(x) är känt och g'(x) är relativt enkelt att jobba fram: $g\text{'}\left(x\right)=\frac{d}{dx}(x^2·\ln (x-1\left)\right)=...$ (produktregeln). Sedan kan du få ett uttryck för f'(x) genom det tidigare $f\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)·g\text{'}\left(x\right)$.