kaströrelse

Det finns oftast flera olika sätt att lösa en uppgift.

De tyckte väl att det fanns en pedagogisk poäng i att använda energiprincipen (vilket jag kan hålla med om).

hur vet jag när jag ska använda energiprincipen?

Uppgifter går ofta att lösa på flera olika sätt.

Ibland ger ett energiresonemang en enkel väg fram till svaret.

Exempel:

Isak kastar en boll rakt uppåt med farten 10 m/s. Bollen släpps från höjden 2 meter.

a) Hur högt ovan mark når bollen?

b) Vilken fart har bollen när den träffar marken?

Denna uppgift går att lösa genom att sätta upp rörelseekvationerna i y-led, lösa ut tidpunkten då bollen når sin högsta punkt och så vidare.

Men ett enklare sätt är att använda ett energiresonemang.

Vi kan sätta:

• h₀ = ursprungshöjd = 2 meter
• h₁ = maxhöjd, vilken vi ska beräkna i deluppgift a.
• h₂ = sluthöjd = 0 meter
• v₀ = ursprungsfart = 10 m/s
• v₂ = slutfart, vilken vi ska beräkna i deluppgift b.

Vi vet att den mekaniska energin bevaras, dvs summan av lägesenergi E_p och rörelseenergi E_k är konstant.

Med 

• E_k0 = Ursprunglig rörelseenergi = mv₀²/2
• E_p0 = Ursprunglig lägesenergi = mgh₀
• E_k1 = Rörelseenergi vid högsta punkten = 0 J
• E_p1 = Lägesenergi vid högsta punkten = mgh₁
• E_k2 = Rörelseenergi vid nedslaget = mv₂²/2
• E_p2 = Lägesenergi vid nedslaget = mgh₂ = 0 J

så får vi 

E_k0+E_p0 = E_k1+E_p1, vilket ger mv₀²/2+mgh₀ = 0+mgh₁. Från detta kan vi enkelt beräkna h₁

E_k1+E_p1 = E_k2+E_p2, vilket ger 0+mgh₁ = mv₂²/2+0. Från detta kan vi enkelt beräkna v₂

blir h1=5 meter och v2=10 m/s ?

Nej.

Visa hur du kommer fram till det så hjälper vi dig att hitta felet.

Detta är kast uppåt så formeln vi ska använda är s=v0t-gt^2/2

Sätter vi in värdena vi har så får vi 2=10t-gt^2/2 vilket leder oss till att t=2,16 s

t/2 är 1,08 och insatt i s=v0t-gt^2/2 får vi att s=5 m

vad gäller energiprincipen tog jag mv0^2/2=mgh1 och satte in värdena vi har och fick att h=5 m

samma princip för v men använde ist formeln v=v0+gt och mgh1=mv2^2/2

Mattehjalp skrev:

Detta är kast uppåt så formeln vi ska använda är s=v0t-gt^2/2

Den fullständiga formeln är s(t) = s₀+v₀t+at²/2.

Om du använder den formeln du har skrivit så innebär det att s₀ = 0, vilket underförstått betyder att

• din nollnivå i höjdled är där bollen lämnar handen, dvs 2 meter ovanför marken.
• positiv vertikal riktning är uppåt.

Det är OK, men som du snart ser så skapar det problem eftersom desa saker inte är uttalade.

Sätter vi in värdena vi har så får vi 2=10t-gt^2/2 vilket leder oss till att t=2,16 

Den ekvation du har satt upp ger dig tidpunkten/erna då bollen befinner sig 2 meter ovanför utkastpositionen, dvs 4 meter ovanför marken. 

Ekvationen har lösningarna t $\approx$ 0,22 s och t $\approx$ 1,81 s.

Men, som sagt, du är på väg att räkna ut något annat än vad som efterfrågas.

t/2 är 1,08 och insatt i s=v0t-gt^2/2 får vi att s=5 m

Det stämmer alltså inte.

vad gäller energiprincipen tog jag mv0^2/2=mgh1 och satte in värdena vi har och fick att h=5 m

Läs mitt svar #4 igen.

Där står att mv₀²/2+mgh₀ = mgh₁.

Dividera med m och lös ut h_1.

Du får då h₁ = h₀+v₀²/(2g)

Med h₀ = 2 m, v₀ = 10 m/s och g $\approx$ 9,82 m/s² får vi h₁ $\approx$ 2+100/19,64 $\approx$ 7 m.

samma princip för v men använde ist formeln v=v0+gt och mgh1=mv2^2/2

För v₂ gäller mgh₁ = mv₂²/2.

Dividera med m och lös ut v₂.

Du får då v₂ = $\sqrt{2gh_1}\approx12$m/s.

Åhh nu hänger jag med, men frågan var ganska otydlig, när det stod "bollen släpps på höjden 2 meter" trodde jag att bollen efter att den hade kastats uppåt, åkte ner igen när den hamna på höjden 2 meter upp. 

Tillägg: 16 sep 2023 17:06

men jag har en fundering, när bollen ska ramla ner igen så är ju bollen 9 m över marken (7+2 m) borde inte vi då lägga att höjden är 9 meter och genom detta räkna ut v när den når marken, för de fråga ej om v när vi är tillbaka på platsen som vi kasta bollen upp ifrån, dvs från 9 m till 2 m

Tillägg: 16 sep 2023 17:20

jag ser nu varför energiprincipen är enklare att använda i sånna fall, men jag undrar hur jag kan använda kast uppåt formeln för att räkna ut h och v, vill säkra att jag kan båda sätt

Mattehjalp skrev:

Åhh nu hänger jag med, men frågan var ganska otydlig, när det stod "bollen släpps på höjden 2 meter" trodde jag att bollen efter att den hade kastats uppåt, åkte ner igen när den hamna på höjden 2 meter upp. 

---

Tillägg: 16 sep 2023 17:06

men jag har en fundering, när bollen ska ramla ner igen så är ju bollen 9 m över marken (7+2 m) borde inte vi då lägga att höjden är 9 meter och genom detta räkna ut v när den når marken, för de fråga ej om v när vi är tillbaka på platsen som vi kasta bollen upp ifrån, dvs från 9 m till 2 m

Nej, bollens maxhöjd ät cirka 7 meter ovanför mark, inte 7 meter ovanför utkastpunkten.

Farten när bollen återigen når höjden 2 meter ovan mark är 10 m/s. Det kan vi inse med ett energiresonemang, utan att utföra en enda beräkning. Så här:

När bollen lämnar handen så består dess mekaniska energi av lägesenergi och rörelseenergi. När bollen är på väg uppåt så övergår rörelseenergin mer och mer till lägesenergi, eftersom farten hela tiden minskar. När bollen når sin högsta punkt så har all rörelseenergi övergått till lägesenergi.

Nu börjar bollen att falla neråt igen. Lägesenergin minskar då men rörelseenergin ökar. När bollen återvänder till ursprungshöjden så är lägesenergin lika stor som den var från början, eftersom höjden h återigen är lika med h₀.

Därför är även rörelseenergin lila stor som den var från början, villet betyder att farten |v| är lika stor som den var från början, dvs 10 m/s.

---

Tillägg: 16 sep 2023 17:20

jag ser nu varför energiprincipen är enklare att använda i sånna fall, men jag undrar hur jag kan använda kast uppåt formeln för att räkna ut h och v, vill säkra att jag kan båda sätt

Börja med att rita en bild som visar hur kastet ser ut. Eftersom kastet är rakt uppåt så är det lämpligt att rita ett koordinatsystem där du sätter av tiden $t$ på den horisontella.axeln och y-positionen $s_y$ på den vertikala axeln.

Jag föreslår att du lägger origo i marknivå och att y-axeln pekar uppåt, dvs att positiv riktning är uppåt.

Det ger dig att $s_{y0}=2$ m, att $v_{y0}=10$ m/s, att $a_y\approx-9,82$ m/s² och att $s_y=0$ m när bollen träffar marken.

Positionsformeln blir då $s_y(t)\approx2+10\cdot t-\frac{9,82\cdot t^2}{2}$.

Hastighetsformeln blir då $v_y(t)\approx10-9,82t$

Yngve skrev:

Mattehjalp skrev:

Åhh nu hänger jag med, men frågan var ganska otydlig, när det stod "bollen släpps på höjden 2 meter" trodde jag att bollen efter att den hade kastats uppåt, åkte ner igen när den hamna på höjden 2 meter upp. 

---

Tillägg: 16 sep 2023 17:06

men jag har en fundering, när bollen ska ramla ner igen så är ju bollen 9 m över marken (7+2 m) borde inte vi då lägga att höjden är 9 meter och genom detta räkna ut v när den når marken, för de fråga ej om v när vi är tillbaka på platsen som vi kasta bollen upp ifrån, dvs från 9 m till 2 m

Nej, bollens maxhöjd ät cirka 7 meter ovanför mark, inte 7 meter ovanför utkastpunkten.

Men i ett annat inlägg som jag la ut så sa man motsatsen till mig. https://www.pluggakuten.se/trad/vertikala-kast/

Eller jag förstår nu, tusen tack!