Kan ni härleda maclaurinutvecklingen av arctanx?
Som rubriken lyder.
Jag tror man deriverar.
Ja, eller vad exakt är det du vill ha?
Formeln är, om jag minns rätt:
f(0) + f'(0)x+(f''(0)x2 )/2! ......
Men desto längre du går desto jobbigare blir det ju såklart. Annars är den ju väldigt lik den för sinus.
Utvecklingen för är känd.
Sätt:
Derivera båda leden.
Sätt
Bestäm genom att sätta .
Hej,
Thomas antyder att man kan nå Taylorserien för arctan-funktionen via den geometriska serien.
Detta förutsätter att man får lov att byta plats på gränsvärde och integrering, något som måste undersökas för att idén ska leda till korrekt resultat; idén fungerar för övrigt bara på intervallet där den geometriska serien är konvergent, så för att utvidga resultatet till resten av måste idén kompletteras med andra idéer.
- Om så ger geometriska serien
.
- Definiera kontinuerlig funktionsföljd som
Geometriska serien visar att funktionsföljden konvergerar punktvis på mot funktionen .
- Om det går att finna en funktion som är övre begränsning till alla funktioner i följden och så kan man använda Dominerade konvergenssatsen inom Integrationsteori för att dra slutsatsen
det vill säga
Integralerna beräknas lätt till
vilka ger Taylorutvecklingen (eftersom Taylorutveckling är unik) av arctan-funktionen, fast bara på intervallet .
Nästa sak att undersöka är om likheten gäller även utanför intervallet .
Albiki, har jag fattat rätt att det du gör är att använda utvecklingen för derivatan och sen integrera termvis?
Om jag minns rätt fanns det någon sats i envariabelkursen som använde absolutkonvergens för att motivera när det är tillåtet 🤔
Micimacko skrev:Albiki, har jag fattat rätt att det du gör är att använda utvecklingen för derivatan och sen integrera termvis?
Om jag minns rätt fanns det någon sats i envariabelkursen som använde absolutkonvergens för att motivera när det är tillåtet 🤔
Ja, det är det som mitt inlägg handlar om. Satsen ifråga är Dominerade konvergenssatsen (om det aktuella problemet uppfyller dess förutsättningar).