8 svar
219 visningar
Dualitetsförhållandet 1287
Postad: 10 dec 2020 09:23

Kan ni härleda maclaurinutvecklingen av arctanx?

Som rubriken lyder.

Laguna Online 30219
Postad: 10 dec 2020 09:26

Jag tror man deriverar.

Miro600 11 – Fd. Medlem
Postad: 12 dec 2020 20:10

Ja, eller vad exakt är det du vill ha?

Formeln är, om jag minns rätt:

f(0) + f'(0)x+(f''(0)x2 )/2! ......

Men desto längre du går desto jobbigare blir det ju såklart. Annars är den ju väldigt lik den för sinus.

tomast80 Online 4245
Postad: 12 dec 2020 20:25 Redigerad: 12 dec 2020 20:26

Utvecklingen för 11-t\frac{1}{1-t} är känd.

Sätt: arctanx=a0+a1x+a2x2+...+anxn\arctan x=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n
Derivera båda leden.

Sätt t=-x2t=-x^2

Bestäm a0a_0 genom att sätta x=0x=0.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 12 dec 2020 23:34 Redigerad: 12 dec 2020 23:47

Hej,

Thomas antyder att man kan nå Taylorserien för arctan-funktionen via den geometriska serien.

Detta förutsätter att man får lov att byta plats på gränsvärde och integrering, något som måste undersökas för att idén ska leda till korrekt resultat; idén fungerar för övrigt bara på intervallet [0,1)[0,1) där den geometriska serien är konvergent, så för att utvidga resultatet till resten av \mathbb{R} måste idén kompletteras med andra idéer.

  • Om 0x<10\leq x<1 så ger geometriska serien

    11+x2=k=0-1kx2k\displaystyle\frac{1}{1+x^2} = \sum_{k=0}^\infty \left(-1\right)^{k}x^{2k}.

  • Definiera kontinuerlig funktionsföljd (fn)(f_n) som

    fnx=k=0n-1kx2k ,  x0,1.\displaystyle f_n\left(x\right) = \sum_{k=0}^n\left(-1\right)^{k}x^{2k}\ , \quad x\in\left[0,1\right).

Geometriska serien visar att funktionsföljden konvergerar punktvis[0,1)[0,1) mot funktionen f(x)=11+x2f(x) = \frac{1}{1+x^2}.

    limnfnx=fx ,  x0,1.\displaystyle \lim_{n\to\infty}f_n\left(x\right)=f\left(x\right) \ , \quad x\in\left[0,1\right).

  • Om det går att finna en funktion g(x)g(x) som är övre begränsning till alla funktioner i följden och 01g(x)dx<\int_0^1 g(x) \,dx <\infty så kan man använda Dominerade konvergenssatsen inom Integrationsteori för att dra slutsatsen

    limn0xfntdt=0xlimnfntdt\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{x} f_n\left(t\right)\,dt = \int_0^{x} \lim_{n\to\infty}f_n\left(t\right)\,dt

det vill säga

    limnk=0n-1k0xt2kdt=0x11+t2dt=arctanx ,  x0,1.\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}\int_{0}^{x}t^{2k}\,dt = \int_0^{x} \frac{1}{1+t^2}\,dt =\arctan x\ , \quad x\in\left[0,1\right). 

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 12 dec 2020 23:38

Integralerna beräknas lätt till

    0xt2kdt=x2k+12k+1\int_0^x t^{2k}\,dt =\frac{x^{2k+1}}{2k+1}

vilka ger Taylorutvecklingen (eftersom Taylorutveckling är unik) av arctan-funktionen, fast bara på intervallet [0,1)[0,1).

    arctanx=k=0-1k·x2k+12k+1 ,  x0,1.\displaystyle\arctan x = \sum_{k=0}^\infty\left(-1\right)^k\cdot\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\ , \quad x\in\left[0,1\right).

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 12 dec 2020 23:43

Nästa sak att undersöka är om likheten gäller även utanför intervallet [0,1)[0,1).

     arctanx=?k=0-1kx2k+12k+1 ,  x-,01,.\displaystyle\arctan x \stackrel{?}{=}\sum_{k=0}^\infty \left(-1\right)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\ , \quad x\in\left(-\infty,0\right)\cup\left[1,\infty\right).

Micimacko 4088
Postad: 13 dec 2020 00:03

Albiki, har jag fattat rätt att det du gör är att använda utvecklingen för derivatan och sen integrera termvis?

Om jag minns rätt fanns det någon sats i envariabelkursen som använde absolutkonvergens för att motivera när det är tillåtet 🤔

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 13 dec 2020 09:49
Micimacko skrev:

Albiki, har jag fattat rätt att det du gör är att använda utvecklingen för derivatan och sen integrera termvis?

Om jag minns rätt fanns det någon sats i envariabelkursen som använde absolutkonvergens för att motivera när det är tillåtet 🤔

Ja, det är det som mitt inlägg handlar om. Satsen ifråga är Dominerade konvergenssatsen (om det aktuella problemet uppfyller dess förutsättningar).

Svara
Close