Kan nån förklara för mig vad är fel med rotationen?

När du multiplicerar två komplexa tal så ska du addera argumenten.

Låt z ha argumentet v och ha den egenskapen att z^2 = z*z = 9i.

Eftetsom 9i har argumentet 90° så ska du alltså hitta de vinklar v som är sådana att v+v = 90° +n*360°, dvs 2v = 90° + n*360°.

Dvs v = 45° + n*180°

45° är rätt men 135° är alltså fel.

Titta i figuren. Den andra vinkeln är 225°.

Hej!

Det komplexa talet $i9$ har modulen $9$ och argumentet $\pi/2+2\pi\cdot n,$ där $n$ betecknar ett godtyckligt heltal.

Du vill finna alla komplexa tal $re^{iv}$ sådana att

    $r^2 = 9$ och $2v = \pi/2 + 2\pi\cdot n.$

Albiki

Även om det inte efterfrågades i uppgiften går det att lösa med rektangulär notation:

$z = a+bi$

$z^2 = ( a+bi )^2 = a^2+2abi+b^2i^2 = a^2-b^2+2abi=9i$

$\Re (VL) = \Re (HL) \Rightarrow a^2-b^2 = 0$

$\Im (VL) = \Im (HL) \Rightarrow 2ab = 9$

Men 225+45= 270, som är -i,eller hur?

@tomast: hur kan jag få fram vinkeln från 2ab=9?

Daja skrev :

Men 225+45= 270, som är -i,eller hur?

@tomast: hur kan jag få fram vinkeln från 2ab=9?

Vad spelar det för roll att 225 + 45 = 270? Det som spelar roll är att 9*225 0ch 9*45 hamnar på samma vinkel (minus ett antal hela varv).

Glöm inte ekvationen på raden ovanför! Där får du ett annat samband mellan a och b.

Daja skrev :

Men 225+45= 270, som är -i,eller hur?

v = 45° + n*180°

Om n = 0 så blir v = 45°

Om n = 1 så blir v = 225°

Om vi söker lösningar i intervallet 0° till 360° så kan vi sluta där.

Daja skrev :

@tomast: hur kan jag få fram vinkeln från 2ab=9?

Det kan du inte direkt, men du kan ta reda på vilka värden a och b kan anta genom att lösa ekvationssystemet

a^2 - b^2 = 0

2ab = 9

Då har du även bestämt de möjliga z = a + bi som uppfyller villkoret z^2 = 9i.

Yngve skrev :

Daja skrev :

Men 225+45= 270, som är -i,eller hur?

v = 45° + n*180°

Om n = 0 så blir v = 45°

Om n = 1 så blir v = 225°

Om vi söker lösningar i intervallet 0° till 360° så kan vi sluta där.

AAAAA nu har jag fattat!

...tror jag.

Lösningen är inte 45+225, utan båda 45 och 225 är oberoende lösningar?

45+45 och perioden 180+180 ger 90+360n

225+225 (plus perioden) ger 450 +n360, som är i andra ord 360+90!

Yngve skrev :

Daja skrev :

@tomast: hur kan jag få fram vinkeln från 2ab=9?

Det kan du inte direkt, men du kan ta reda på vilka värden a och b kan anta genom att lösa ekvationssystemet

a^2 - b^2 = 0

2ab = 9

Då har du även bestämt de möjliga z = a + bi som uppfyller villkoret z^2 = 9i.

... Detta däremot är jag fortfarande inte med.

Daja skrev :

Yngve skrev :

Visa föregående citat

Daja skrev :

@tomast: hur kan jag få fram vinkeln från 2ab=9?

Det kan du inte direkt, men du kan ta reda på vilka värden a och b kan anta genom att lösa ekvationssystemet

a^2 - b^2 = 0

2ab = 9

Då har du även bestämt de möjliga z = a + bi som uppfyller villkoret z^2 = 9i.

... Detta däremot är jag fortfarande inte med.

Hej!

Varför använder du komplicerade rektangulära koordinater $(a,b)$ istället för enkla polära koordinater $(r,v)$? Ta en titt på mitt inlägg i denna tråd istället.

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Det komplexa talet $i9$ har modulen $9$ och argumentet $\pi/2+2\pi\cdot n,$ där $n$ betecknar ett godtyckligt heltal.

Du vill finna alla komplexa tal $re^{iv}$ sådana att

    $r^2 = 9$ och $2v = \pi/2 + 2\pi\cdot n.$

Albiki

Jag har inte läst om $re^{iv}$ än, men jag tror att det kommer om 2, 3 sidor...

Om du låter z = a + bi, då har du att

$z^2 = (a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$

Om nu detta ska vara lika med $9i$ så måste real delen av $z^2$ vara noll och imaginärdelen vara $9$, därför får man ekvationssystemet

$a^2 - b^2 = 0$

$2ab = 9$

Detta är ganska rakt fram att lösa, men normalt sett så gör följande ekvation att det blir lite trevligare att lösa ekvationssystemet:

$|z|^2 = |9i| = 9$

Så man får ekvationen

$a^2 + b^2 = 9$

Så nu har man ekvationssystemet

$a^2 + b^2 = 9$

$a^2 - b^2 = 0$

$2ab = 9$

Från de två första är det enkelt att lösa ut vad $a$ är och sedan är det bara att lösa ut $b$ från den tredje ekvationen.

Jag har kommit lite längre i kapitlet och hänger lite bättre med :)