Kan man utvidga kedjeregeln till hur många nästlade funktioner som helst?

Halloj!

Jag har en fråga. Det känns väldigt intuitivt att detta borde stämma, men det kan inte skada att fråga. Låt säga att vi skapar en funktion $f$ som definieras enligt:

$\displaystyle f=f\left(g\left(h\left(x\right)\right)\right)$

Då verkar det rimligt att derivatan kan skrivas som:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}\cdot\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}h}\cdot\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}$

Visst bör detta kunna utvidgas hur långt som helst egentligen, eller hur? Så för $k$ i varandra nästlade funktioner, $f_1,f_2,f_3,...,f_k$ : $\displaystyle \left(\circ _{i=1}^{k}f_i\right)\left(x\right)$ , borde derivatan kunna skrivas:

$\displaystyle\prod_{i=1}^{k}\frac{\mathrm{d}f_i}{\mathrm{d}f_{i+1}}$

Det är bara en tanke, men den kanske är helt uppåt väggarna fel. Har ni några bra insikter?

Kalla g(h(x)) för i(x).

Då står det att

f = f(i(x))

Denna kan deriveras som

$\frac{d f}{d x} = \frac{d f}{d i} \frac{d i}{d x}$

Hur räknar man väl då ut $\frac{d i}{d x}$ ? Jo, eftersom att det är en sammansatt funktion kan man få det till

$\frac{d i}{d x} = \frac{d}{d x} g (h (x)) = \frac{d g}{d h} \frac{d h}{d x}$

Sätt detta samman med den tidigare uträkningen

$\frac{d f}{d x} = \frac{d f}{d i} \frac{d i}{d x} = \frac{d f}{d i} \frac{d g}{d h} \frac{d h}{d x}$

och man ser att du har tänkt rätt.

För ändlig nesting gäller det säkert, sen händer säkert äckliga saker i oändligheten som så ofta är fallet i analys. "Hur många som helst" är ett starkt uttryck haha. Är lite osäker om man kan konstruera ett meningsfullt koncept om oändlig nesting ens dock.

Man kan få en väldefinierad funktion som resultatet av oändlig nesting genom att använda (x^a)^b=x^(ab) och använda en oändlig produkt man vet konvergerar, till säg m, funktionen man får bör då bli x^m. Om man använder kedjeregeln... så faller produkten ut... exponenterna blir.... a_n-1... slutresultatet m*x^(m-inf)??

Om du har tid kan du också checka oändligt nestade sinus som borde konvergera till noll (i alla fall punktvis), vd är derivatan enligt kedjeregeln i det fallet?

Svara