Kan man säga att dessa mängder är samma mängd?

Låt säga att vi har två mängder:

$x_{1} = {x : x = 1 + 2 n, n \in ℤ}$

$x_{2} = {x : x = n, n \in ℤ}$

Dessa mängder bör vara identiska egentligen, då de innehåller exakt samma element, samt har samma kardinalitet. Just så här ser det lite torrt ut, men i samband med trigonometriska ekvationer undrar jag ifall man då även kan säga att denna ekvivalens stämmer:

$x = π (1 + 2 n) \Leftrightarrow x = π m, n, m \in ℤ$

Det vill säga om man kan förenkla 1+2n till n.

x₂ innehåller elementet 2, det gör inte x₁.

Oj, ja det stämmer! Tack för påpekandet.

Men när jag löser ekvationen $\tan x = \sin x$ på wolframalpha listar den $x = πn$ som en mängd som innehåller alla lösningar, men egentligen kan väl det inte stämma eftersom $\sin x = 0$ ger lösningsmängden $x = π (1 + 2 n)$ , och dessa mängder inte innehåller samma element?

Ekvationen är sann när cos(x) = 1 också.

Javisst, men ekvationen $\cos x = 1$ ger väl lösningsmängden $x = 2 πn$ ?

Ja, och den tillsammans med $\pi(1+2n)$ kan uttryckas som $\pi n$ .

Jaha, är det så att om man tar $2 πn \cup π (1 + 2 n)$ så får man mängden $πn$ ?

Så är det.

Okej, då förstår jag!

Tack så mycket!

Kan det till och med vara så att dessa mängder inte delar något element alls? Det slog mig nu att mängderna jag hänvisade till i ursprungsposten är disjunkta så det var en väldigt korkad tanke till att börja med att säga att mängderna vore lika 😅

Dina första två mängder innehåller båda alla udda heltal, t.ex. 3.

Svara

Visa senaste svar