Kan man lösa detta med kongruens också?

Jag är litet osäker på hur du menar med kongruensräkning.

Tänker du att vi räknar i bas fyra. Udda n betyder att n = 1 eller n = 3. Och så provar vi fallen separat?

När n är udda så  måste

 $$\begin{gathered} n\equiv 1 \left(mod4\right) eller n\equiv 3 (mod 4) \\ 1) När n\equiv 1 (mod4) \Rightarrow n^2\equiv 1 (mod 4) och n^4\equiv 1 (mod 4) \\ {n}^4+6n^2+9 \equiv 1+6+9 (mod4)\equiv 16 (mod 4) \equiv \hspace{0.17em}0 mod (4) \\ vilket betyder att 4\overline{) (n^4+6n^2+9)} \end{gathered}$$

Testa när n lämnar resten 3.

OK Mohammad, du var redan på g där. Ser ju prima ut.

Men i stället för att testa n = 3 kunde man testa n = –1, bara ett hugskott.

Marilyn skrev:

OK Mohammad, du var redan på g där. Ser ju prima ut.

Men i stället för att testa n = 3 kunde man testa n = –1, bara ett hugskott.

Håller med dig, tack!

Mohammad Abdalla skrev:

När n är udda så  måste

 $$\begin{gathered} n\equiv 1 \left(mod4\right) eller n\equiv 3 (mod 4) \\ 1) När n\equiv 1 (mod4) \Rightarrow n^2\equiv 1 (mod 4) och n^4\equiv 1 (mod 4) \\ {n}^4+6n^2+9 \equiv 1+6+9 (mod4)\equiv 16 (mod 4) \equiv \hspace{0.17em}0 mod (4) \\ vilket betyder att 4\overline{) (n^4+6n^2+9)} \end{gathered}$$

Testa när n lämnar resten 3.

Tack för ditt utförliga svar!

Men hur vet vi att n måste vara kongruent med 1 mod4 eller 3 mod4?

Vilken/vilka rester får man när man delar ett udda tal med 4? testa några stycken udda tal.

Om man tittar på ett generellt udda tal $n=2k+1$ kan man väl säga att nedanstående påstående måste gälla för att udda tal ska vara kongruenta med 1 mod4:

$\displaystyle 2k+1≡_{4}1\implies \frac{2k+1-1}{4}=p, p\in \mathbb{Z}$

Men vi vet ju inte om $\displaystyle \frac{k}{2}$ blir ett heltal eller ej.

Ett udda tal n kan skrivas n=2k+1    , men k i sig kan vara antingen udda eller jämnt

När k är udda: k=2t+1  ==> n=2(2t+1)+1 = 4t+3 $\equiv 3 (mod 4)$

När k är jämnt: k=2t ==> n=2(2t)+1 = 4t+1 ≡ 1 (mod 4)

Men vad händer när $\displaystyle k=1$? Då blir $\displaystyle \frac{2k+1-1}{4}=\frac{1}{2}$, men $\displaystyle \frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}$. Men då gäller ju inte ett av kraven som måste gälla.

När k=1 (udda) så är n=(2k+1)=3 $\equiv 3 \left(mod4\right)$

Det finns alltid två alternativ när n är udda så måste n lämna resten 1 eller 3 när den delas med 4.

Ja okej, nu förstår jag. Ursäkta att jag var lite trög där!

Tack så mycket för hjälpen!

naytte skrev:

Ja okej, nu förstår jag. Ursäkta att jag var lite trög där!

Tack så mycket för hjälpen!

Inga problem, bra jobbat!