Kan man "låsa" variabler när man räknar ut gränsvärden för flera variabler?

Om man har ett gränsvärde på formen $\lim_{(x, y) \to (a, b)} f (x, y)$ kan man då beräkna gränsvärdet genom att "låsa" en av variablerna och räkna ut ett gränsvärde i taget för att sedan se om dem båda gränsvärdena matchar?

Alltså kan man dela upp ovanstånde gränsvärde i två gränsvärden på följande sätt:

$\lim_{x \to a} f (x, b) = k$ och $\lim_{y \to b} f (a, y) = j$ och om $k = j$ så är $\lim_{(x, y) \to (a, b)} f (x, y) = k$ men om $k \neq j$ så existerar inte ett gränsvärde.

Ungefär som man gör med partiella derivator.

Anledningen till att jag frågar är för att jag har för mig att jag sett denna metod användas någonstans men kan inte hitta metoden igen (på internet eller i min bok). Undrar om detta är en gilitg metod eller om jag bara inbillar mig. Varje gång jag dock har använt metoden så har den fungerat felfritt.

För att visa att gränsvärdet ej existerar så kan du "låsa en av variablerna" som du beskriver. Men för att visa att gränsvärdet existerar (och bestämma det) måste du visa att du får samma gränsvärde oavsett hur punkten $(x,y)$ närmar sig punkten $(a,b)$ ; det finns flera vägar längs vilka punkterna kan närma sig varandra och du måste ta hänsyn till dem alla.

Albiki skrev:
För att visa att gränsvärdet ej existerar så kan du "låsa en av variablerna" som du beskriver. Men för att visa att gränsvärdet existerar (och bestämma det) måste du visa att du får samma gränsvärde oavsett hur punkten $(x,y)$ närmar sig punkten $(a,b)$ ; det finns flera vägar längs vilka punkterna kan närma sig varandra och du måste ta hänsyn till dem alla.

Vad brukar då vara det effektivaste sättet att räkna ut ett gränsvärde med flera variabler?

Nide skrev:
Albiki skrev:
För att visa att gränsvärdet ej existerar så kan du "låsa en av variablerna" som du beskriver. Men för att visa att gränsvärdet existerar (och bestämma det) måste du visa att du får samma gränsvärde oavsett hur punkten $(x,y)$ närmar sig punkten $(a,b)$ ; det finns flera vägar längs vilka punkterna kan närma sig varandra och du måste ta hänsyn till dem alla.
Vad brukar då vara det effektivaste sättet att räkna ut ett gränsvärde med flera variabler?

Att gå över till polära koordinater (med punkten som man undersöker i origo) brukar vara ett bra trick eftersom man då närmar sig punkten när $r\to0$ , oavsett $\theta$ -värde.

Svara

Visa senaste svar