kan man ha en kontinuerlig funktion med diskret definitionsmängd?
Är mitt resonemang rätt i detta påstendet? Jag blir fundersam på om jag verkligen kan resonera på det sätt som jag gjort nedan. Jag tänker mig att om vi har en funktion som hoppas mellan exempelvis 0 och 1 så kommer funktionen av vara diskontinerlig där. Kan jag istället tolka frågan som att den "får" anta värdena 0,1 och 2, men inte behöver det. Då skulle jag kunna argumentera för att den konstanta funktionen f(x)=0 uppfyller kriterierna med att de "får" anta värdena 0,1 och 2 (utan att den faktist gör det). Den konstanta funktionen är kontinuerlig och därmed kom påstendet att vara falskt.
Tänker jag rätt?
Ja, det är riktigt. För att motbevisa påståendet räcker det med att ge ett motexempel. Till exempel är den konstanta funktionen f(x) = 0 kontinuerlig. Om funktionen däremot måste anta alla värden 0, 1 och 2 minst en gång vardera, ja då kan den inte vara kontinuerlig.
Jag tolkar "antar värdena 0, 1 och 2" som att det finns a, b, c i [0, 1] sådana at f(a) = 0, f(b) = 1, f(c) = 2. Annars hade jag uttryckt det som att funktionen antar värden i {0, 1, 2}, i vilket fall funktionen inte behöver anta mer än ett av värdena.
Rubriken är fel. Du menar diskret målmängd eller värdemängd.
