kan man en linjär transformation utan att ha ett vektorrum

"Går det att ha en funktion utan att ha en definitionsmängd?"

Calle_K skrev:

"Går det att ha en funktion utan att ha en definitionsmängd?"

Jag påstår att det inte går att ha en funktion utan en definitionsmängd! Per definition tar  en funktion ett element från definitionsmängden till värdemängden.

Jag antar att samma resonemang är applicerbar för en linjär transformation (ish en funktion). Den Lin.Transf. tar ett element (alltid en vektor) från vektorrummet V till en vektor i vektorrummet W.

Där med antar jag att svaret på frågan är att om vi har en linjär transformation måste den mappan en vektor från ett vektorrum V till ett annat vektorrum W.

Kan man ha en linjärtransformation som mappar vektorer från vektorrum V till samma vektorrum .Q

Snyggt!

Linjära transformationer kan gå från och till samma vektorrum.

Du har T(x)=Ax. Låt $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$, då kommer transformationen gå från $\mathbb{R}^n$ till $\mathbb{R}^m$. Nu kan du välja m och n hur du vill, även m=n.

Calle_K skrev:

Snyggt!

Linjära transformationer kan gå från och till samma vektorrum.

Du har T(x)=Ax. Låt $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$, då kommer transformationen gå från $\mathbb{R}^n$ till $\mathbb{R}^m$. Nu kan du välja m och n hur du vill, även m=n.

Stort tack!

Ett lite mer abstrakt sätt att beskriva en linjär transformation är att det är en homomorfi mellan två vektorrum (som kan få vara samma vektorrum). Med det blir det tydligt att man måste ha vektorrum för att definiera linjär transformation. 

Men din fråga kanske är om man kan ha en liknande definition mellan några annan strukturer än vektorrum? Man kan byta ut vektorrum mot moduler över en ring R. I det fallet har jag bara sett transformationen kallas R-linjär. 

dioid skrev:

Ett lite mer abstrakt sätt att beskriva en linjär transformation är att det är en homomorfi mellan två vektorrum (som kan få vara samma vektorrum). Med det blir det tydligt att man måste ha vektorrum för att definiera linjär transformation. 

Men din fråga kanske är om man kan ha en liknande definition mellan några annan strukturer än vektorrum? Man kan byta ut vektorrum mot moduler över en ring R. I det fallet har jag bara sett transformationen kallas R-linjär. 

Okej, intressant! Ma2 LinAlg SU innefattar endast vektorrum vad jag vet.

Vi verkar överens om att om T:V—>W är en linjär transformation i vanlig mening. så behöver V och W båda vara vektorrum. Men vad händer om V och W är vektorrum över OLIKA kroppar? Då kommer ju axiomet T(kx)= k T(x) att sakna mening?

Det är sant vektorrummen måste vara över samma kropp K, så man borde nog säga K-linjär i det fallet också med undantaget K = reella talen för att få lite mindre att skriva i det vanligaste fallet. Men jag kan inte påminna mig att någon skrivit C-linjär för komplexa vektorrum. Det är väl relativt ovanligt att man resonerar samtidigt om vektorrum över en olika kroppar förutom reella och komplexa tal resp ändliga kroppar och deras kroppsutvidgningar. 

Bildrummets kropp kan måhända vara en utvidgning av domänens?