Kan man bevisa sinussatsen med cos satsen ?
Jag undrar hur cos och sin satsen hänger ihop
Kan man bevisa den ena ur den andra ? i så fall räcker det med bara en av dem
Det var ett konstigt resonemang. Varför skulle man inte ha satser som går att bevisa från andra satser? Då skulle det inte bli särskilt mycket kvar av matematiken.
Jovisst är det så men frågan är om man kan reducera triangelsolvering till bara en sats
T ex cos eller sin satsen. Kan jag solvera alla triangelfall (SSS, SAS, ASS dvs Side Side Side, Side Angle Side, Angle Side Side) med bara t ex sinussatsen ?
Sinussatsen och cosinussatsen är två satser som jag fram till denna dag aldrig vetat om beviset för; jag har bara accepterat att det är två samband man kan utnyttja. Därför kan jag inte besvara din fråga.
Din fråga inspirerade mig dock till att leta efter bevis, och vad man kan säga är att bevisen för de två satserna båda involverar att skapa en tilltänkt linje "h" som motsvarar höjden om man valt en sida som bas.
https://sv.wikipedia.org/wiki/Cosinussatsen
https://sv.wikipedia.org/wiki/Sinussatsen
Det går kanske att kombinera de två härledningarna för att få ut de två sambanden på en gång. Kanske inte.
Mackabi skrev:Jovisst är det så men frågan är om man kan reducera triangelsolvering till bara en sats
T ex cos eller sin satsen. Kan jag solvera alla triangelfall (SSS, SAS, ASS dvs Side Side Side, Side Angle Side, Angle Side Side) med bara t ex sinussatsen ?
Fallet SSS blir nog svårt att lösa med sinusteoremet!
Det är inte självklart att sinusteoremet följer av cosinusteoremet eller tvärtom. Alla matematiska satser bygger på axiom. En del satser bevisas med hjälp av andra, men inte alla.
Så jag tror att svaret på frågan är nej.
Sinussatsen är i princip areasatsen uttryckt på tre olika sätt, så en direkt följd av att A = b*h/2 för en triangel.
Cosinussatsen är en utvidgning av Pythagoras sats för även icke rätvinkliga trianglar.
Jag tror därför inte att denna ena kan härledas ur den andra.
(Om man kombinerar de två så kan man få fram Herons formel.)
Se WIki Laws of Cosine: de visar många bevis för cos satsen. underrubrik: using the law of sines.
Har man alltså bevisat cos satsen ur sinus satsen ??
Hur många bevis finns egentligen för den satsen?
För Pythagoras sats finns säkert flera hundra, jag tror det finns en bok om det.
Ok, ja de härledde cosinussatsen ur sinussatsen. Kanske inte det enklaste beviset från den långa listan, men ändå.
Jo, beviset är ganska komplicerad. Och jag har inte sett omvändningen dvs att sinussatsen skulle kunna bevisas med cos satsen
Så att när allt kommer omkring så är det två satser man måste ha för att solvera trianglar.
