Kan man bevisa lim x->0 sinx/x så här + är det gängse sättet cirkulärt?

Det funkar kanske som du skriver, och denna definition finns i litteraturen och bygger på serieutvecklingen av e^x. Men hur går det med basic, t ex additionsformlerna och sin och cos-teoremen? De senare är ju knutna till triangelsolvering. Inte känner du väl lust att solvera trianglar med serier?

Tomten skrev:

Det funkar kanske som du skriver, och denna definition finns i litteraturen och bygger på serieutvecklingen av e^x. Men hur går det med basic, t ex additionsformlerna och sin och cos-teoremen? De senare är ju knutna till triangelsolvering. Inte känner du väl lust att solvera trianglar med serier?

Om man definierar både sinus och cosinus med serien kan man nog derivera eulers formel och därifrån kan man nog bevisa ganska många formler för dem

Jag testade att härleda $\sin{2x} = 2\sin{x} \cos{x}$ med seriedefinitionerna. Det är definitivt lite klurigt. Här är en liten skiss på det. 

Definiera $\displaystyle \sin{x} = \sum_{k=0}^\infty{\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}}$ och $\cos{x} = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty{\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}}$
Vi får då att $\displaystyle\sin{x}\cos{x} = \sum_{k=0}^\infty{\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}} \cdot \sum_{k=0}^\infty{\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}}$
$= \left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}...\right)\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}...\right)$
Notera att sinus är en udda funktion och cosinus en jämn funktion. Det innebär att $\sin{x}\cos{x}$ är udda och alla koefficienter framför $x^{2n}$ termerna $0$

Om man multiplicerar ut parenteserna får man att koefficienten framför $x^{2n+1}$ blir
$\displaystyle\sum_{k=0}^n{\frac{1}{(2k+1)! \cdot (2n-2k)!}}$ om $n$ är jämn
$\displaystyle-\sum_{k=0}^n{\frac{1}{(2k+1)! \cdot (2n-2k)!}}$ om $n$ är udda
(Detta är jag lite osäker på om man får göra eftersom att jag multiplicerar och grupperar ihop två oändliga summor. Det är något jag aldrig gjort tidigare men jag antar att det borde vara ok eftersom att båda summor är absolut konvergenta?)

$\displaystyle\sum_{k=0}^n{\frac{1}{(2k+1)! \cdot (2n-2k)!}} = \frac{1}{(2n+1)!}\sum_{k=0}^n{\frac{(2n+1)!}{(2k+1)! \cdot (2n-2k)!}} = \frac{1}{(2n+1)!} \sum_{k=0}^n{\binom{2n+1}{2k+1}}$
Om vi kollar på summan får vi 
$\displaystyle\sum_{k=0}^n{\binom{2n+1}{2k+1}} = \sum_{k=0}^n{\left( \binom{2n}{2k} + \binom{2n}{2k+1}\right)}$
Om man skriver ut termerna får man att det blir $\binom{2n}{0}+\binom{2n}{1}+\binom{2n}{2}... +\binom{2n}{2n}$ (det finns också en term $2n$ över $2n+1$ och $2n$ över $2n+2$ men dessa blir $0$ per definition)
Alltså $\displaystyle\sum_{k=0}^n{\binom{2n+1}{2k+1}} = \sum_{k=0}^{2n}{\binom{2n}{k}}$

Från binomialsatsen får vi att $(a+b)^{2n}$ $= \displaystyle\sum_{k=0}^{2n}{\binom{2n}{k}a^{2n-k}b^k}$
Sätter vi in $a=b=1$ får vi att $\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}{\binom{2n}{k}} = 4^n$
Då blir koefficienten till $x^{2n+1}$
$-\frac{4^n}{(2n+1)!}$ om n är udda och $\frac{4^n}{(2n+1)!}$ om n är jämn
Då får vi att $\displaystyle2\sin{x}\cos{x} = 2\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n 4^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}} = \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n 2^{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!}} = \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}} = \sin{2x}$

Definitivt inte något trevligt att gå igenom för alla andra formler!

Inte känner du väl lust att solvera trianglar med serier?

Kanske, om det förhindrar cirkulära resonamng i framtiden. För det är det som är min stora skräck här. Det verkar vara något cirkulärt som försiggår i beviset för gränsvärdet av $\sin x/x$ då $x\to 0$.

Om de trigonometriska formlerna: om man först bevisar e^ix = cos(x) + i sin(x), så blir väl allt lättare?

Resonemanget är inte cirkulärt, om man gör på följande vis:

1) Visar att en cirkelsektor har en area, exempelvis genom en approximering med, öh, "polygontåg" (enl. Wikipedia). Alltså en följd punkter med räta linjer mellan varje på varandra följande punkter. Går att göra analytiskt och så vitt jag vet utan trigonometri. I princip visar man att $\int_0^x \sqrt{1-t^2} dt$ existerar för $x\in[0,1]$.

2. Definiera ett mått på vinkeln i enhetscirkeln som två gånger cirkelsektors area. Låt oss säga att om arean är x/2, så är vinkelns mått x. Detta är alltså en definition på hur vi mäter vinkeln.

3. Definiera de trigonometriska funktionerna genom att definiera punkten på enhetscirkeln som radien med vinkeln x skär som (sin(x), cos(x)).

naytte skrev:

*Det känns som man använder integraler när man påstår att arean på cirkelsektorn ges av $\displaystyle A = \frac{xr^2}{2}$. Och då denna sats bevisas så använder man ju derivatan av $\sin x$. 

Nja, hela cirkelns area är $\pi\cdot r ^2$, det är väl allt du behöver bevisa. Proportionalitet också kanske. Men ingen av dem "kräver" detta gränsvärde.

Cirkelsektorns area är samma andel av cirkelns area som vinkeln $x$ är andel av $2 \pi$ så:

$\dfrac{A_{sektor}}{A_{cirkel}}=\dfrac{x}{2\pi}$

Gustor skrev:

"polygontåg"

Obligatorisk låt att länka varje gång detta roliga ord nämns: https://open.spotify.com/track/4RpYyQtdfTUcbjEQ3xBd6e?si=oaA02kX8TRejZbEcmNtWWQ.

Vilken guldgruva! 

oggih skrev:

Gustor skrev:

"polygontåg"

Obligatorisk låt att länka varje gång detta roliga ord nämns: https://open.spotify.com/track/4RpYyQtdfTUcbjEQ3xBd6e?si=oaA02kX8TRejZbEcmNtWWQ.

Haha, ja jag hade inte hört ordet förut. Svängig låt!