Kan man bevisa lim x->0 sinx/x så här + är det gängse sättet cirkulärt?

Det funkar kanske som du skriver, och denna definition finns i litteraturen och bygger på serieutvecklingen av e^x. Men hur går det med basic, t ex additionsformlerna och sin och cos-teoremen? De senare är ju knutna till triangelsolvering. Inte känner du väl lust att solvera trianglar med serier?

Tomten skrev:

Det funkar kanske som du skriver, och denna definition finns i litteraturen och bygger på serieutvecklingen av e^x. Men hur går det med basic, t ex additionsformlerna och sin och cos-teoremen? De senare är ju knutna till triangelsolvering. Inte känner du väl lust att solvera trianglar med serier?

Om man definierar både sinus och cosinus med serien kan man nog derivera eulers formel och därifrån kan man nog bevisa ganska många formler för dem

Jag testade att härleda $\sin{2x} = 2\sin{x} \cos{x}$ med seriedefinitionerna. Det är definitivt lite klurigt. Här är en liten skiss på det. 

Definiera $\displaystyle \sin{x} = \sum_{k=0}^\infty{\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}}$ och $\cos{x} = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty{\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}}$
Vi får då att $\displaystyle\sin{x}\cos{x} = \sum_{k=0}^\infty{\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}} \cdot \sum_{k=0}^\infty{\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}}$
$= \left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}...\right)\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}...\right)$
Notera att sinus är en udda funktion och cosinus en jämn funktion. Det innebär att $\sin{x}\cos{x}$ är udda och alla koefficienter framför $x^{2n}$ termerna $0$

Om man multiplicerar ut parenteserna får man att koefficienten framför $x^{2n+1}$ blir
$\displaystyle\sum_{k=0}^n{\frac{1}{(2k+1)! \cdot (2n-2k)!}}$ om $n$ är jämn
$\displaystyle-\sum_{k=0}^n{\frac{1}{(2k+1)! \cdot (2n-2k)!}}$ om $n$ är udda
(Detta är jag lite osäker på om man får göra eftersom att jag multiplicerar och grupperar ihop två oändliga summor. Det är något jag aldrig gjort tidigare men jag antar att det borde vara ok eftersom att båda summor är absolut konvergenta?)

$\displaystyle\sum_{k=0}^n{\frac{1}{(2k+1)! \cdot (2n-2k)!}} = \frac{1}{(2n+1)!}\sum_{k=0}^n{\frac{(2n+1)!}{(2k+1)! \cdot (2n-2k)!}} = \frac{1}{(2n+1)!} \sum_{k=0}^n{\binom{2n+1}{2k+1}}$
Om vi kollar på summan får vi 
$\displaystyle\sum_{k=0}^n{\binom{2n+1}{2k+1}} = \sum_{k=0}^n{\left( \binom{2n}{2k} + \binom{2n}{2k+1}\right)}$
Om man skriver ut termerna får man att det blir $\binom{2n}{0}+\binom{2n}{1}+\binom{2n}{2}... +\binom{2n}{2n}$ (det finns också en term $2n$ över $2n+1$ och $2n$ över $2n+2$ men dessa blir $0$ per definition)
Alltså $\displaystyle\sum_{k=0}^n{\binom{2n+1}{2k+1}} = \sum_{k=0}^{2n}{\binom{2n}{k}}$

Från binomialsatsen får vi att $(a+b)^{2n}$ $= \displaystyle\sum_{k=0}^{2n}{\binom{2n}{k}a^{2n-k}b^k}$
Sätter vi in $a=b=1$ får vi att $\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}{\binom{2n}{k}} = 4^n$
Då blir koefficienten till $x^{2n+1}$
$-\frac{4^n}{(2n+1)!}$ om n är udda och $\frac{4^n}{(2n+1)!}$ om n är jämn
Då får vi att $\displaystyle2\sin{x}\cos{x} = 2\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n 4^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}} = \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n 2^{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!}} = \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}} = \sin{2x}$

Definitivt inte något trevligt att gå igenom för alla andra formler!

Inte känner du väl lust att solvera trianglar med serier?

Kanske, om det förhindrar cirkulära resonamng i framtiden. För det är det som är min stora skräck här. Det verkar vara något cirkulärt som försiggår i beviset för gränsvärdet av $\sin x/x$ då $x\to 0$.

Om de trigonometriska formlerna: om man först bevisar e^ix = cos(x) + i sin(x), så blir väl allt lättare?