Kan man använda detta för att visa konvergens?

Du blandar ihop varje term med summan. Om summan är begränsad (S) så är serien konvergent.

tomast80 skrev:

Du blandar ihop varje term med summan. Om summan är begränsad (S) så är serien konvergent.

kräver vi inte också att summan är monoton för n större än något tal 

Ett exempel som kanske hjälper till att bygga lite intuition för vad som kan gå fel är serien

    $\sum_{k=0}^\infty {(-1)}^k$,

som ger upphov till följande delsummor:

• $\sum_{k=0}^0 {(-1)}^k=1$
• $\sum_{k=0}^1 {(-1)}^k=1+{(-1)}=0$
• $\sum_{k=0}^2 {(-1)}^k=1+{(-1)}+1=1$
• $\sum_{k=0}^3 {(-1)}^k=1+{(-1)}+1+{(-1)}=0$
• ...

Eftersom delsummorna bara hoppar fram och tillbaka mellan 0 och 1 utan att närma sig något gränsvärde, så är serien $\sum_{k=0}^\infty {(-1)}^k$ divergent och saknar väldefinierat värde!

Tack för exemplet!

Finns det något intuitivt sätt att förstå varför summan $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ divergerar medan summan $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}$ konvergerar? 

Jag tror dessutom jag uttryckte min ursprungsfråga dåligt. Nu var ditt exempel ett väldigt bra motexempel på varför den intuitionen inte alltid stämmer. Men jag vill ändå omformulera min ursprungsfråga en aning:

Låt säga att vi har ett gränsvärde av en viss summa:

$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \sum_{n=0}^{k}a_{k}$

Antingen är gränsvärdet ett tal eller så går det mot oändligheten eller så är det helt och hållet odefinierat. Låt säga att vi vet att gränsvärdet ligger mellan två tal:

$\displaystyle a_{0}< \lim_{k \to \infty} \sum_{n=0}^{k}a_{k}< p$

Här ser vi att gränsvärdet definitivt inte går mot oändligheten, likaså ser vi att det inte hoppar fram och tillbaka mellan två värden. Skulle man i en sådan situation kunna säga att den är konvergent, även om vi inte vet exakt vad det konvergerar mot?

naytte skrev:

Finns det något intuitivt sätt att förstå varför summan $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ divergerar medan summan $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}$ konvergerar? 

Det är en bra fråga som jag tycker förtjänar en egen tråd! Det skulle kunna bli lite av en kul samlingstråd kanske, med Pluggakutens bästa förklaringar till varför $\sum_{n=1}^\infty 1/n$ divergerar! ^_^

Låt säga att vi har ett gränsvärde av en viss summa:

$\lim_{k \to \infty} \sum_{n=0}^{k}a_{k}$

Antingen är gränsvärdet ett tal eller så går det mot oändligheten eller så är det helt och hållet odefinierat. Låt säga att vi vet att gränsvärdet ligger mellan två tal:

$a_{0}< \lim_{k \to \infty} \sum_{n=0}^{k}a_{k}< p$

Här ser vi att gränsvärdet definitivt inte går mot oändligheten, likaså ser vi att det inte hoppar fram och tillbaka mellan två värden. Skulle man i en sådan situation kunna säga att den är konvergent, även om vi inte vet exakt vad det konvergerar mot?

Hmm, när du skriver

   $\displaystyle a_{0}< \lim_{k \to \infty} \sum_{n=0}^{k}a_{n}< p$

så låter det som att du redan vet att gränsvärdet existerar, vilket förvirrar mig lite. Menar du kanske att du vet att det för varje $k$ gäller att

   $\displaystyle  a_{0}< \sum_{n=0}^{k}a_{n}< p$? 

I så fall är det tyvärr inte sant att vi kan utesluta möjligheten att delsummorna bara kommer alternera mellan två olika värden. Till exempel kan vi bilda serien $\sum_{n=0}^\infty a_n$ med $a_0=1$, $a_1=1$ och $a_n=(-1)^{n+1}$ för alla $n\in\mathbb{Z}_{>0}$, där delsummorna kommer att bli 1,2,3,2,3,2,3,...

Dock ska sägas att mycket av den här problematiken försvinner om vi kräver att serien ska ha ickenegativa termer, dvs. att $a_n\geq 0$ för alla $n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$.

Då kommer delsummorna

• $s_0 := \sum_{n=0}^0 a_n$
• $s_1 := \sum_{n=0}^1 a_n$
• $s_2 := \sum_{n=0}^2 a_n$
• $s_3 := \sum_{n=0}^3 a_n$
• $s_4 := \sum_{n=0}^4 a_n$
• ...

att bilda en växande följd. Om man dessutom kan visa att det finns en övre gräns, säg $p$, sådan att $s_k\leq p$ för varje $k\in\mathbb{Z}_{>0}$, så säger monotona konvergenssatsen (en konsekvens av supremumegenskapen för de reella talen) att $(s_k)_{k=1}^\infty$ konvergerar mot något reellt tal $L\leq p$.

Det innebär per definition att $\sum_{n=0}^\infty a_n$ är konvergent, med värdet $L$.

Yes, det var något i den stilen jag var ute efter! 

Tack så mycket!