Kan jag använda restsatsen här?

Kan du ha nytta av den här tråden? Jag har inte läst så noga, men det verkar likartat.

Tack, jag ska prova det. Ja, det verkar vara en liknande uppgift.

I den tråden som Smaragdalena hänvisar till så skriver Yngve:

”Eftersom du har 3 punkter (x,r(x))  som uppfyller ovanstående samband så kan du sätta upp ett ekvationssysten med 3 ekvationer för att lösa ut de 3 obekanta a, b och c.”

Jag förstår att mina punkter syftar på resterna som erhålls

r(0) = 3
r(2) = 1
r(5) = 5.

Men hur ska jag ställa upp ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta utifrån detta?

Jag vet att r(x) kommer att vara av grad 2 eller lägre och vara på formen $a{x}^2+bx+c$.

Du vet att punkterna (0,3), (2,1) och (5,5) ligger på kurvan y=r(x). Kommer du vidare?

Du är lite för smart för mig ;-)

Jag ska fundera på det och titta i böckerna. Återkommer.

Du kan få fram ett linjärt ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta om du stoppar in att x=0, y=3 respektive x=2, y=1 och x=5, y=5 i funktionen y=ax²+bx+c.

Tack så mycket :-)

Jag har funktionen $y=a{x}^2+bx+c$ och ska där sätta in punkterna (0,3), (2,1) och (5,5).

Då får jag ett ekvationssystem med 3 ekvationer och 3 obekanta och kan lösa ut a, b och c.

$\left\{\begin{array}{c}3=a·0^2+b·0+c \left(I\right)\\ 1=a·2^2+b·2+c \left(II\right)\\ 5=a·5^2+b·5+c \left(III\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}3=c \left(I\right)\\ 1=4a+2b+3 \left(II\right)\\ 5=25a+5b+3 \left(III\right)\end{array}\right.$

Ur ekvation (II) kan vi lösa ut hur många b som a består i:

1=4a+2b+3

$\iff$4a=1-3-2b

$\iff$a=-0,5-0,5b

Vi sätter därefter in in att a=-0,5-0,5b i ekvationen (III) för att lösa ut b:

5=25(0,5-0,5b)+5b+3.  EDIT: här har jag skrivit fel, a är ju lika med -0,5-0,5 b.

$\iff$5=12,5-12,5b+5b+3

$$\begin{gathered} \iff 5=15,5-7,5b \\ \iff 7,5b=10,5 \\ \iff b=1,4 =\frac{7}{5} \end{gathered}$$

I ekvation (II) sätter vi in b=1,4 eller $\frac{7}{5}$ för att lösa ut a:

$$\begin{gathered} 1=4a+2\left(\frac{7}{5}\right)+3 \\ \iff 1=4a+\frac{14}{5}+3 \\ \iff 4a=-2-\frac{14}{5}... \\ \iff a=-\frac{6}{5} \end{gathered}$$

Då har vi ekvationen  med insatta värden för a, b och c:

$\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{5}}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{5}}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{3}$.

...och sedan kan du sätta in värdet på b i antingen ekvation (II) eller (III) för att beräkna a.

Men det blev ändå inte rätt enligt facit.

Jag har inte facit, men jag kan se när det inte är korrekt svar.

Har jag nu gjort något slarvfel, kanske något teckenfel?

Jag tycker ju att jag varit noggrann, men något fel är det uppenbarligen.

Har du kontrollerat ditt svar genom att sätta in x-värdena 0, 2 respektive 5 och kollat om du får fram rätt svar?

x=0 ger 3

x=2 ger 1

men x=5 ger -20. Det är fel, det borde bli 5.

När jag sätter in x-värdet 5 i ekvationen $y=-\frac{6}{5}{x}^2+\frac{7}{5}x+3$ så får jag alltså y=-20.

Då måste du ha gjort något fel när du löste ekvationssystemet. Jag fick helt andra värden när jag löste det. (Lös ut b ur ekvation (II) så blir det enkla siffror.)

Du har satt in att a=0,5-0,5b i ekvation (III) fastän du har fått fram att a=-0,5-0,5b. Där har vi felet!

Då måste du ha gjort något fel när du löste ekvationssystemet. Jag fick helt andra värden när jag löste det. (Lös ut b ur ekvation (II) så blir det enkla siffror.)

Du har satt in att a=0,5-0,5b i ekvation (III) fastän du har fått fram att a=-0,5-0,5b. Där har vi felet!

Tack!

Efter rättelse fick jag $y=\frac{7}{15}{x}^2-\frac{29}{15}x+3$ som alltså är resten då p(x) delas med

(x-0)(x-2)(x-5).

Jag satte in x-värdena 0, 2 och 5 och fick att

x=0 ger y-värde 3,

x=2 ger y-värde 1 och

x=5 ger y-värde 5.

Alltså stämmer det. Det var även rätt svar enligt facit.

Tack alla för konstruktiv hjälp.