Kan en funktion vara deriverbar men icke-kontinuerlig?

I alla punkter förutom $x=0$ är funktionen deriverbar och kontinuerlig. En funktion som är deriverbar är alltid kontinuerlig. :)

Så svaret på frågan i rubriken är nej. 

Man kan säga att lutningen alltid är noll, men derivatan går ändå inte att beräkna i x = 0. Gränsvärdet som definierar derivatan är odefinierat.

Ni kommer nog att lära er om generaliserade funktioner senare. Då inför man ett sätt att ange vad derivatan är i sådana punkter (en Dirac-puls) så att det går att räkna med vad som tidigare kallades odefinierat. Då blir mycket deriverbart som tidigare inte var det, men noll är det fortfarande inte för en funktion som denna.

Bevis för detta: 

Kontinuitet finns i en punkt om $\underset{h\to 0}{\lim } f(a+h)=f\left(a\right)$. Vi kan skriva om detta krav som$\underset{h\to 0}{\lim }\left( f(a+h)-f\left(a\right)\right)=0$.

Vi kan vi förlänga VL med h:  

$\underset{h\to 0}{\lim }\left(h·\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}\right)$

Givet att funktionen är deriverbar, kan vi nu skriva om gränsvärdet som $\underset{h\to 0}{\lim }\left(h·f\text{'}\left(a\right)\right)$, vilket är lika med noll. Kravet att $\underset{h\to 0}{\lim }\left( f(a+h)-f\left(a\right)\right)=0$ är alltså uppfyllt. :)

Smutstvätt skrev:

I alla punkter förutom $x=0$ är funktionen deriverbar och kontinuerlig. En funktion som är deriverbar är alltid kontinuerlig. :)

Så svaret på frågan i rubriken är nej. 

Så även om vänster- och högerderivatan är lika är det ett krav att funktionen måste vara kontinuerlig?

TheDovah skrev:

Smutstvätt skrev:

I alla punkter förutom $x=0$ är funktionen deriverbar och kontinuerlig. En funktion som är deriverbar är alltid kontinuerlig. :)

Så svaret på frågan i rubriken är nej. 

Så även om vänster- och högerderivatan är lika är det ett krav att funktionen måste vara kontinuerlig?

Nej men i det här fallet är de ju inte lika.

Vänsterderivatan:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f\left(0\right)}{h}=\frac{0-0}{h}=0$

Högerderivatan:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f\left(0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-0}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}=\infty$

Det är aldrig någon förutsättning att funktionen är kontinuerlig, men en deriverbar funktion är alltid kontinuerlig.

Smutsmunnen skrev:

TheDovah skrev:

Visa föregående citat

Smutstvätt skrev:

I alla punkter förutom $x=0$ är funktionen deriverbar och kontinuerlig. En funktion som är deriverbar är alltid kontinuerlig. :)

Så svaret på frågan i rubriken är nej. 

Så även om vänster- och högerderivatan är lika är det ett krav att funktionen måste vara kontinuerlig?

Nej men i det här fallet är de ju inte lika.

Vänsterderivatan:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f\left(0\right)}{h}=\frac{0-0}{h}=0$

Högerderivatan:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f\left(0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-0}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}=\infty$

 

Det är aldrig någon förutsättning att funktionen är kontinuerlig, men en deriverbar funktion är alltid kontinuerlig.

Hur är högerderivatan $\infty$ när den har lutningen 0 för alla x>0? Är det för att den inte är definerad i punkten 0 och bara råkar bli oändligheten då?

TheDovah skrev:

Smutsmunnen skrev:

Visa föregående citat

TheDovah skrev:

Smutstvätt skrev:

I alla punkter förutom $x=0$ är funktionen deriverbar och kontinuerlig. En funktion som är deriverbar är alltid kontinuerlig. :)

Så svaret på frågan i rubriken är nej. 

Så även om vänster- och högerderivatan är lika är det ett krav att funktionen måste vara kontinuerlig?

Nej men i det här fallet är de ju inte lika.

Vänsterderivatan:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f\left(0\right)}{h}=\frac{0-0}{h}=0$

Högerderivatan:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f\left(0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-0}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}=\infty$

 

Det är aldrig någon förutsättning att funktionen är kontinuerlig, men en deriverbar funktion är alltid kontinuerlig.

Hur är högerderivatan $\infty$ när den har lutningen 0 för alla x>0? Är det för att den inte är definerad i punkten 0 och bara råkar bli oändligheten då?

Blir det inte såhär? $högerderivata=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f\left(0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-1}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0}{h}=0=vänsterderivata$

Du kan inte säga nu att f(0) är 1 när det står i första inlägget att det är 0.

Micimacko skrev:

Du kan inte säga nu att f(0) är 1 när det står i första inlägget att det är 0.

Kan jag inte ens säga att högergränsvärdet av funktionen är 1?

Jo gränsvärdet är 1, men f(0) är inget gränsvärde, det är en punkt på funktionen som bara kan ha ett värde.

TheDovah skrev:

Smutsmunnen skrev:

Visa föregående citat

TheDovah skrev:

Smutstvätt skrev:

I alla punkter förutom $x=0$ är funktionen deriverbar och kontinuerlig. En funktion som är deriverbar är alltid kontinuerlig. :)

Så svaret på frågan i rubriken är nej. 

Så även om vänster- och högerderivatan är lika är det ett krav att funktionen måste vara kontinuerlig?

Nej men i det här fallet är de ju inte lika.

Vänsterderivatan:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f\left(0\right)}{h}=\frac{0-0}{h}=0$

Högerderivatan:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f\left(0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-0}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}=\infty$

 

Det är aldrig någon förutsättning att funktionen är kontinuerlig, men en deriverbar funktion är alltid kontinuerlig.

Hur är högerderivatan $\infty$ när den har lutningen 0 för alla x>0? Är det för att den inte är definerad i punkten 0 och bara råkar bli oändligheten då?

Att högerderivatan är oändlig har jag ju just visat för dig. Vill du tänka dig det på något intuitivt sätt så kan du tänka dig att lutningen är vertikal när funktionen hoppar från 0 till 1.

Micimacko skrev:

Jo gränsvärdet är 1, men f(0) är inget gränsvärde, det är en punkt på funktionen som bara kan ha ett värde.

Aha! Jag fattar nu. Så f(0+h) blir "gränsvärdesdelen" och går således till 1 då h->0 medans f(0) redan är definierat från funktionens definiton. 

Anledningen att allt detta förvirrade mig var för att jag trodde att höger- och vänsterderivatan blev samma men nu ser jag att det inte är så. 

Betyder detta alltså att varje funktion som inte är kontinuerlig har olika vänster- och högerderivator (då funktioner anses vara deriverbara endast om "derivatans definition gränsvärdet" existerar) ?

Det blir väl snarare så att minst en sida inte har någon derivata alls, för om funktionen hoppar måste minst ett av gränsvärdena från definitionen bli oändligt, men det är liksom ingen riktig derivata som är oändlig.

Micimacko skrev:

Det blir väl snarare så att minst en sida inte har någon derivata alls, för om funktionen hoppar måste minst ett av gränsvärdena från definitionen bli oändligt, men det är liksom ingen riktig derivata som är oändlig.

Ja, precis, det låter rimligt