Kan ekvationer ha flera lösningar?

En ekvation av första graden med en variabel t ex $4x+5=8$ har en kösning.

En ekvation av andra graden med en variabel t ex $5x^2+3x-7=0$ har två lösningar (om man räknar en dubbelrot som två och räknar med komplexa lösningar).

En tredjegeadsekvation har tre lösningar under samma förutsättningar. 

Ett linjärt ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta kan ha en, noll eller oändligt många lösningar. 

Ok, men alltså har ekvationen 2x+y=16 då 2 lösningar (en för X, en för Y)?

Menar inte heller ekvationer som bara har en variabel, som i exemplet du skrev ovan, där bara X fanns med. Om en ekvation har olika variabler, typ X och Y, har då ekvationen flera lösningar (en för varje variabel), eller är lösningen alla de olika värdena "tillsammans", som finns för både X och Y?

Är inte helt klar med matte 1c än, och har varken läst matte 2 eller 3 ännu så förstår inte vad du menar med varken första/ andragradsekvation, dubbelrot... Kan du förklara på ett annat sätt tror du?

Ekvationen 2x+y=16 har oändligt många lösningar, välj ett godtyckligt värde på ditt x, och anpassa ditt y därefter! (y=16-2x med ditt val av x!). Exempelvis fungerar x=0 och y=16, eller x=7 och y=2, eller x=-100 och y=216 osv. 

Itslina98 skrev:

Ok, men alltså har ekvationen 2x+y=16 då 2 lösningar (en för X, en för Y)?

...

 

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Ekvationen 2x + y = 16 kan skrivas på formen y = -2x + 16.

Denna ekvation beskriver en rät linje med lutning -2 och som korsar y-axeln vid y = 16. Rita gärna den i ett koordinatsystem.

Sambandet mellan ekvationen och linjen är nu följande:

• Alla värden på x och y som uppfyller ekvationen motsvarar en punkt på linjen.
• Alla punkter på linjen har koordinater (x, y) som uppfyller ekvationen.

Exempel:

Talparet x = 1, y = 14 uppfyller ekvationen och därför ligger punkten (1, 14) på linjen.

Punkten (-2, 20) ligger på linjen och koordinaterna x = -2 och y = 20 uppfyller därför ekvationen.

Ekvationen har alltså lika många lösningar som det finns punkter på linjen.

Eftersom det finns oändligt många punkter på linjen så har ekvationen oändligt många lösningar.

Moffen skrev:

Ekvationen 2x+y=16 har oändligt många lösningar, välj ett godtyckligt värde på ditt x, och anpassa ditt y därefter! (y=16-2x med ditt val av x!). Exempelvis fungerar x=0 och y=16, eller x=7 och y=2, eller x=-100 och y=216 osv. 

 Tack! Det gjorde saken klarare :)

Så X har flera lösningar, och värdet på y anpassas efter vad x-värdet är (och tvärtom)?

Själva ekvationens lösning är då alltså ett bestämt värde på EN av variablerna, då den andra variablens värde sedan "medföljer på köpet"/ är beroende av lösningen för tex. X?

Läs Yngves inlägg, han förklarar det bra. Poängen är att alla par (x,y) som uppfyller ekvationen ligger på linjen y=-2x+16. Ta nu en valfri punkt på linjen och läs av x och y koordinaterna, de är lösningar till din ekvation. 

Itslina98 skrev:

...

Själva ekvationens lösning är då alltså ett bestämt värde på EN av variablerna, då den andra variablens värde sedan "medföljer på köpet"/ är beroende av lösningen för tex. X?

Jag tror att du tänker rätt men du uttrycker det lite fel. Det finns inte en "ekvationens lösning" i singular.  Lösningen består inte av "ett bestämt värde på en av variablerna". Ekvationen har oändligt många lösningar.

Du har rätt i att en av dessa oändligt många lösningar kan bestämmas på det sätt du beskriver, nämligen att du kan välja ett värde på x (eller y) och sedan beräkna det värde på y (eller x) som "hänger ihop" så att ekvationen uppfylls.

Yngve skrev:

Itslina98 skrev:

...

Själva ekvationens lösning är då alltså ett bestämt värde på EN av variablerna, då den andra variablens värde sedan "medföljer på köpet"/ är beroende av lösningen för tex. X?

Jag tror att du tänker rätt men du uttrycker det lite fel. Det finns inte en "ekvationens lösning" i singular.  Lösningen består inte av "ett bestämt värde på en av variablerna". Ekvationen har oändligt många lösningar.

Du har rätt i att en av dessa oändligt många lösningar kan bestämmas på det sätt du beskriver, nämligen att du kan välja ett värde på x (eller y) och sedan beräkna det värde på y (eller x) som "hänger ihop" så att ekvationen uppfylls.

 Ok tack! Då förstår jag.

Det här med att det kan finnas flera (eller rent av oändligt många) lösningar, är ett fenomen som dyker upp redan när man bara har en variabel i sin ekvation. Några exempel:

 En ekvation med oändligt många lösningar är till exempel

$3x=3x$.

Den uppfylls ju nämligen för alla värden på x som du stoppar in!

En ekvation med tre lösningar skulle kunna vara

$(x-3)(x-1)(x-11)=0\,,$

som satisfieras dels av $x=3$, dels av $x=1$ och dels av $x=11$.

Det finns även ekvationer som helt saknar lösningar, t.ex.

$2x+3=2x-1\,.$

Vad du än stoppar in för tal i stället för x så kommer högerledet vara skilt från vänsterledet.

Det finns även ekvationer som visserligen inte har några lösningar bland de "vanliga" (så kallade reella) talen, men som har lösningar om vi utvidgar vårt talsystem till de så kallade komplexa talen, t.ex.

$x^2=-8\,.$

Vad du än stoppar in för något vanligt tal på x plats i den ekvationen så kommer vänsterledet vara större än eller lika med 0, medan högerledet kommer vara mindre än 0. Hur man kan uppfinna nya tal som faktiskt löser den här ekvationen lär man sig mer om i Matte 2 och Matte 4.