Kan ekvationen lösas algebraiskt?

Värde från miniräknaren kan du alltid få, om den är programmerbar (och annars också, om man orkar): gör bara $x = e^{\frac{e}{2x}}$ tills värdet inte ändrar sig.

Laguna skrev:

Värde från miniräknaren kan du alltid få, om den är programmerbar (och annars också, om man orkar): gör bara $x = e^{\frac{e}{2x}}$ tills värdet inte ändrar sig.

Okej, jag tänker specifiera frågan ännu mer:

Kan man lösa ekvationen på ett sådant sätt att högerledet inte innehåller någon variabel, OCH att högerledet har ett exakt värde (ingen avrundning är tillåten). Kan du visa en lösning som täcker båda dom förutsättningarna?

Det är vad jag menade. Förlot om jag inte var extremt super mega tydlig.

Om du inte vill ha avrundning kan du inte använda en miniräknare. (Om den inte är symbolhanterande)

parveln skrev:

Om du inte vill ha avrundning kan du inte använda en miniräknare. (Om den inte är symbolhanterande)

Okej, jag tänker ta bort den editen, för den verkar flytta oss bort från vad jag menade att fråga.

Satan-i-Gatan skrev:

parveln skrev:

Om du inte vill ha avrundning kan du inte använda en miniräknare. (Om den inte är symbolhanterande)

Okej, jag tänker ta bort den editen, för den verkar flytta oss bort från vad jag menade att fråga.

Dock så kan vi ju också säga att vi hypotetiskt sätt har en symbolhanterande miniräknare, och utgå ifrån det också.

Ekvationen är algebraiskt lösbar; dock inte med elementära funktioner (polynom, trigfunktioner, exponentialfunktioner, logaritmer o.s.v.), utan det krävs användning av något som kallas för Lamberts W-funktion.

Lamberts W-funktion $W(z)$ ger nämligen lösningen till ekvationen:

$xe^{x}=z$

$x=W(z)$

I vårt fall kan vi använda detta enligt följande:

$2x\ln(x)=e$

$x\ln\left(x\right)=\dfrac{e}{2}$

$e^{x\ln(x)}=e^{\frac{e}{2}}$

$\left(e^{\ln(x)}\right)^x=e^{\frac{e}{2}}$

$x^x=e^{\frac{e}{2}}$

$x=e^{\frac{e}{2x}}$

$1=\dfrac{e^{\frac{e}{2x}}}{x}$

Låter vi nu $t=e/(2x)$ blir $1/x=2t/e$ och vi får:

$1=\dfrac{2te^t}{e}$

$\dfrac{e}{2}=te^t$

Nu ger Lamberts W-funktion (egentligen $W_0$, en variant av den på grund av intervallet vi arbetar i, men det är egentligen bara en teknikalitet):

$t=W_0(\dfrac{e}{2})$

$\dfrac{e}{2x}=W_0(\dfrac{e}{2})$

$x=\dfrac{e}{2W_0(\frac{e}{2})}$

Lösningen kan snyggas till något genom att utnyttja definitionen för värdet $W_0(e/2)$:

$\frac{e}{2}=W_0(\dfrac{e}{2})e^{W_0(\frac{e}{2})}$

$\frac{e}{2W_0(\frac{e}{2})}=e^{W_0(\frac{e}{2})}$

Alltså är $x=e^{W_0(\frac{e}{2})}\approx 1,9839$

AlvinB skrev:

Ekvationen är algebraiskt lösbar; dock inte med elementära funktioner (polynom, trigfunktioner, exponentialfunktioner, logaritmer o.s.v.), utan det krävs användning av något som kallas för Lamberts W-funktion.

Lamberts W-funktion $W(z)$ ger nämligen lösningen till ekvationen:

$xe^{x}=z$

$x=W(z)$

I vårt fall kan vi använda detta enligt följande:

$2x\ln(x)=e$

$x\ln\left(x\right)=\dfrac{e}{2}$

$e^{x\ln(x)}=e^{\frac{e}{2}}$

$\left(e^{\ln(x)}\right)^x=e^{\frac{e}{2}}$

$x^x=e^{\frac{e}{2}}$

$x=e^{\frac{e}{2x}}$

$1=\dfrac{e^{\frac{e}{2x}}}{x}$

Låter vi nu $t=e/(2x)$ blir $1/x=2t/e$ och vi får:

$1=\dfrac{2te^t}{e}$

$\dfrac{e}{2}=te^t$

Nu ger Lamberts W-funktion (egentligen $W_0$, en variant av den på grund av intervallet vi arbetar i, men det är egentligen bara en teknikalitet):

$t=W_0(\dfrac{e}{2})$

$\dfrac{e}{2x}=W_0(\dfrac{e}{2})$

$x=\dfrac{e}{2W_0(\frac{e}{2})}$

Lösningen kan snyggas till något genom att utnyttja definitionen för värdet $W_0(e/2)$:

$\frac{e}{2}=W_0(\dfrac{e}{2})e^{W_0(\frac{e}{2})}$

$\frac{e}{2W_0(\frac{e}{2})}=e^{W_0(\frac{e}{2})}$

Alltså är $x=e^{W_0(\frac{e}{2})}\approx 1,9839$

Tack så mycket, väldigt informativt och bra svar! :)