kaffets temperatur

Jag är inte med på hur du tog fram T'(t) = -83k. Avsvalningslagen säger att derivatan ärproportionell mot skillnaden i temperatur mellan kaffet oh omgivningen i varje ögonblick, inte bara när man häller upp det. Det borde finnas en faktor (T-13), inte (96-13).

Smaragdalena skrev:

Jag är inte med på hur du tog fram T'(t) = -83k. Avsvalningslagen säger att derivatan ärproportionell mot skillnaden i temperatur mellan kaffet oh omgivningen i varje ögonblick, inte bara när man häller upp det. Det borde finnas en faktor (T-13), inte (96-13).

jag använde bara formeln i uppgiften dT/dt=-k(T-Tomg) där T är 96 och Tomg=13? Då blir det ju -83k?

Nej, T(t) är en funktion av tiden t som du skall räkna fram. Det som är 96 är T₀ = T(0), d v s temperaturen från början.

Smaragdalena skrev:

Nej, T(t) är en funktion av tiden t som du skall räkna fram. Det som är 96 är T₀ = T(0), d v s temperaturen från början.

Såhär då:

Tꞌ(t)=-k(T(t)-T_omg)

T(t)=T_omg+e^(-kt)(96-T_omg)+C

T(0)=96 och T_omg=13℃

T(0)=e^(-k*0)+13+C=96 => C=0 => T(t)=13+83*e^(-kt) ?

Men ska jag ändra temperaturen efter vad det är i experimenten jag gör i 2?

Nej. Första raden är korrekt, men på andra raden har du två olika konstanter som adderas men ingen som multipliceras med exponentialfunktionen. Dessutom förstår jag inte varifrån parentesen (96-T_omg) kommer ifrån.

Börja med att skriva hur lösningen till diffekvationen y'(x) = kx ser ut.

Smaragdalena skrev:

Nej. Första raden är korrekt, men på andra raden har du två olika konstanter som adderas men ingen som multipliceras med exponentialfunktionen. Dessutom förstår jag inte varifrån parentesen (96-T_omg) kommer ifrån.

Börja med att skriva hur lösningen till diffekvationen y'(x) = kx ser ut.

y(x)=(kx^(2)/2)+C

Oj, jag skrev fel. Jag hade menat att skriva att du skulle ta fram lösningen till diffekvationen y'(x) =ky(x).

Smaragdalena skrev:

Oj, jag skrev fel. Jag hade menat att skriva att du skulle ta fram lösningen till diffekvationen y'(x) =ky(x).

y=C*e^(kx)

Ja.

Funktionen y(x) skulle t ex kunna beskriva temperaturen hos kaffet om man är ute på vintern när temperaturen är noll. Då skulle C vara temperaturen på det nyss upphällda kaffet, låt oss säga 96 grader, och k är en konstant som beror på vilken kopp man dricker kaffet ur. Om kaffet får stå väldigt länge komer temperaturen att gå ner till 0 grader.

Låt oss säga att vi istället sitter och fikar inomhus där temperaturen är 20 grader. Vilken temperatur kommer kaffet att ha efter lång tid?

Smaragdalena skrev:

Ja.

Funktionen y(x) skulle t ex kunna beskriva temperaturen hos kaffet om man är ute på vintern när temperaturen är noll. Då skulle C vara temperaturen på det nyss upphällda kaffet, låt oss säga 96 grader, och k är en konstant som beror på vilken kopp man dricker kaffet ur. Om kaffet får stå väldigt länge komer temperaturen att gå ner till 0 grader.

Låt oss säga att vi istället sitter och fikar inomhus där temperaturen är 20 grader. Vilken temperatur kommer kaffet att ha efter lång tid?

20 grader?

Ja. Så vi måste byta ut x i exponentenmot x-20, addera 20 och justera konstanten C så att starttemperaturen blir 96 grader. Hur ser funktionen ut efter alla dessa förändringar?

Smaragdalena skrev:

Ja. Så vi måste byta ut x i exponentenmot x-20, addera 20 och justera konstanten C så att starttemperaturen blir 96 grader. Hur ser funktionen ut efter alla dessa förändringar?

y=C*e^(k*(x-20))+20

96=C*e^(k*(0-20))+20

C=76*e^(20k)

y=76*e^(20k)*e^(k*(x-20))+20

y=76*e^(kx)+20

Är det rätt tänkt?

Tar tillbaka det jag skrev tidigare tror jag kommit fram till rätt nu:

Lösning av differentialekvation

T´=-k(T-Tomg)

T´+k*T=k*Tomg

Homogen lösning:

T=C*e^(-kt)

Partikulär lösning:

T=D T´=0

k*D=k*Tomg

D=Tomg=13℃

T=13

Allmän lösning

T=C*e^(-kt)+13

T(0)=96℃

96=C+13

C=83

T=83*e^(-kt)+13

Stämmer det?