Triangelns area (Matematik/Matte 3)

Har du hittat skärningspunkterna med koordinataxlarna?

Mitt är skrev:
...
Kurvan y = a(x-a)(x-1) med 0 < a > 1 skär koordinataxlarna i tre olika punkter.

Jag antar att du menar 0 < a < 1 och att man ska visa att arean är nindre än eller lika ned 2/27 a.e?

Yngve skrev:
Jag antar att du menar 0 < a < 1 och att man ska visa att arean är nindre än eller lika ned 2/27 a.e?

Du har faktiskt rätt, frågan är att visssa att triangelns area är mindre än eller lika ned 2/27 a.e?

Dr. G skrev:
Har du hittat skärningspunkterna med koordinataxlarna?

Nej, inte än. Skulle du kunna hjälpa med med det?

Tacksam för svaret :)

Mitt är skrev:
Dr. G skrev:
Har du hittat skärningspunkterna med koordinataxlarna?
Nej, inte än. Skulle du kunna hjälpa med med det?
Är tacksam för svaret :)***

Mitt är skrev:
Dr. G skrev:
Har du hittat skärningspunkterna med koordinataxlarna?
Nej, inte än. Skulle du kunna hjälpa med med det?
Tacksam för svaret :)

Sambandet y = a(x-a)(x-1) gäller för alla punkter (x, y) på kurvan. Speciellt gäller det för de punkter där kurvan skär koordinataxlarna.

Då kurvan skär y-axeln så är x-koordinaten lika med 0. Detta kan du använda för att få fram en ekvation för det värde på y då kurvan skär y-axeln.

Då kurvan skär x-axeln så är y-koordinaten lika med 0. Detta kan du använda för att få fram en ekvation för de värden på x då kurvan skär x-axeln.

Yngve skrev:
Sambandet y = a(x-a)(x-1) gäller för alla punkter (x, y) på kurvan. Speciellt gäller det för de punkter där kurvan skär koordinataxlarna.
Då kurvan skär y-axeln så är x-koordinaten lika med 0. Detta kan du använda för att få fram en ekvation för det värde på y då kurvan skär y-axeln.
Då kurvan skär x-axeln så är y-koordinaten lika med 0. Detta kan du använda för att få fram en ekvation för de värden på x då kurvan skär x-axeln.
Hej igen!
Tänkte nästan en timme på den, men ändå kom inte på hur ska jag göra det som du har sagt. Skulle du kunna visa den ?
tusen tack!

Mitt är skrev:
Yngve skrev:
Sambandet y = a(x-a)(x-1) gäller för alla punkter (x, y) på kurvan. Speciellt gäller det för de punkter där kurvan skär koordinataxlarna.
Då kurvan skär y-axeln så är x-koordinaten lika med 0. Detta kan du använda för att få fram en ekvation för det värde på y då kurvan skär y-axeln.
Då kurvan skär x-axeln så är y-koordinaten lika med 0. Detta kan du använda för att få fram en ekvation för de värden på x då kurvan skär x-axeln.

Mitt är skrev:
Mitt är skrev:
Yngve skrev:
Sambandet y = a(x-a)(x-1) gäller för alla punkter (x, y) på kurvan. Speciellt gäller det för de punkter där kurvan skär koordinataxlarna.
Då kurvan skär y-axeln så är x-koordinaten lika med 0. Detta kan du använda för att få fram en ekvation för det värde på y då kurvan skär y-axeln.
Då kurvan skär x-axeln så är y-koordinaten lika med 0. Detta kan du använda för att få fram en ekvation för de värden på x då kurvan skär x-axeln.

Hej igen!

Tänkte nästan en timme på den, men ändå kom inte på hur ska jag göra det som du har sagt. Skulle du kunna visa den ?

tusen tack!

Du har ekvationen y = a(x-a)(x-1). Sätt in y = 0 och lös, så får du x-koordinaterna för de båda ställen där kurvan korsar y-axeln. Sätt in x = 0 och lös, så får du y-koordinaten för den punkt där kurvan korsar x-axeln.

Om du behöver mer hjälp än så, så visa hur långt du har kommit och fråga igen.

Jag gjorde så där:

Y=a(0-a)(0-1) och fick y= a^2

Men när kurvan skär x-axeln, då blir y=0. Men vet inte hur ska jag lösa den?

ax^2 - ax - a^2x + a^2 = 0 ????

Enklast är att använda nollproduktsmetoden!

Dr. G skrev:
Enklast är att använda nollproduktsmetoden!

Tack! gjorde det och fick x=a och x=1. Skulle ni kunna säga vad ska jag göra sedan?

Tack ändå för svaret!

Räkna ut den tredje punkten, den där du sätter in att x = 0 i funktionen y = a(x-a)(x-1) och beräknar y-värdet.

Hej igen!

Jag tänkte räkna ut arean men fick lite problem, alltså kunde inte komma fram till något svar:

arean = ( 1 - a )^2 * a^2 / 2: men hur ska räkna ut den ?

Det är arean. Maximera m.h.a derivata.

Vilken är den tredje punkten i triangeln, den som ligger på y-axeln? När du räknat ut den, kan du beräkna arean av triangeln.

Dr. G skrev:
Det är arean. Maximera m.h.a derivata.

Men hur, snälla hjälp med

Smaragdalena skrev:
Räkna ut den tredje punkten, den där du sätter in att x = 0 i funktionen y = a(x-a)(x-1) och beräknar y-värdet.

Jag räknade ut tredje punkten alltså fick y=a^2

Om jag vore som du, skulle jag rita upp några trianglar med olika värden på a för att se vad det är jag vill räkna ut.

Vilken är basen i triangeln? Vilken är höjden i triangeln? Hur stor är arean för triangeln?

Smaragdalena skrev:
Om jag vore som du, skulle jag rita upp några trianglar med olika värden på a för att se vad det är jag vill räkna ut.
Vilken är basen i triangeln? Vilken är höjden i triangeln? Hur stor är arean för triangeln?

Hej!

Jag ritade upp trianglar, och fick basen 1-a och höjden a^2. Men vet inte vad ska jag göra sedan

Jag gjorde så efter det:

A = a^2 - a^3 / 2

A' = 2a -3a^2 / 2

A'=0

och fick två värde alltså a1 = 0 och a2 = 2

Nu när jag gör tecken tabel så får negativ tecken både gånger, kan ni hjälpa mig vad ska jag göra nu?

A = (1 - a)*a^2/2 = (a^2 - a^3)/2

A' = (2*a - 3*a^2)/2

Derivatan blir 0 för a = 0, men inte för a= 2, utan för a = ...

Rubrik ändrad från 'K' till 'Triangelns area'. Jag hoppas att du hittar på lite tydligare rubriker i framtiden. /moderator

Regel 1.1
När en tråd skapas ska rubriken tydligt ange trådens innehåll. Om du har flera frågor inom samma ämnesområde ska rubrikerna namnges på ett sådant sätt att det är tydligt vilken tråd som tillhör till vilken fråga.

Dr. G skrev:
A = (1 - a)*a^2/2 = (a^2 - a^3)/2
A' = (2*a - 3*a^2)/2
Derivatan blir 0 för a = 0, men inte för a= 2, utan för a = ...

Hej!

juste a1 = 0 och a2 = 2/3.

Kan ni vara snäll och säga vad ska jag göra sedan? please

Mitt är skrev:
Dr. G skrev:
A = (1 - a)*a^2/2 = (a^2 - a^3)/2
A' = (2*a - 3*a^2)/2
Derivatan blir 0 för a = 0, men inte för a= 2, utan för a = ...
Hej!
juste a1 = 0 och a2 = 2/3.
Kan ni vara snäll och säga vad ska jag göra sedan? please

Triangelns area A är en funktion av a: $A (a) = \frac{a^{2} - a^{3}}{2}$

Du vet att areafunktionen har extrempunkter (min-, max- eller terrasspunkter) då a = 0 och då a = 2/3.

Nästa steg blir att ta reda på vilken typ av extrempunkter dessa är och om någon av dem är en maxpunkt så är det bara att sätta i motsvarande värde på a i areafunktionen så får du ju ut den maximala arean.

Yngve skrev:
Mitt är skrev:
Hej!
juste a1 = 0 och a2 = 2/3.
Kan ni vara snäll och säga vad ska jag göra sedan? please
Triangelns area A är en funktion av a: $A (a) = \frac{a^{2} - a^{3}}{2}$
Du vet att areafunktionen har extrempunkter (min-, max- eller terrasspunkter) då a = 0 och då a = 2/3.
Nästa steg blir att ta reda på vilken typ av extrempunkter dessa är och om någon av dem är en maxpunkt så är det bara att sätta i motsvarande värde på a i areafunktionen så får du ju ut den maximala arean.

Jag tror att det är en max punkt. Och när jag sätter in 2 / 3 i formeln så blir den så: 2 / 3 (x- 2/3) (x-1), vad ska jag göra nu???

Mitt är skrev:
Yngve skrev:
Mitt är skrev:
Hej!
juste a1 = 0 och a2 = 2/3.
Kan ni vara snäll och säga vad ska jag göra sedan? please
Triangelns area A är en funktion av a: $A (a) = \frac{a^{2} - a^{3}}{2}$
Du vet att areafunktionen har extrempunkter (min-, max- eller terrasspunkter) då a = 0 och då a = 2/3.
Nästa steg blir att ta reda på vilken typ av extrempunkter dessa är och om någon av dem är en maxpunkt så är det bara att sätta i motsvarande värde på a i areafunktionen så får du ju ut den maximala arean.
Jag tror att det är en max punkt. Och när jag sätter in 2 / 3 i formeln så blir den så: 2 / 3 (x- 2/3) (x-1), vad ska jag göra nu???

Att areafunktionen $A(a)$ har en maxpunkt då $a=2/3$ kan du verifiera antingen genon att studera andraderivatans $A''(a)$ tecken då $a=2/3$ eller genom en teckentabell för förstaderivatan $A'(a)$ . Har ni lärt er detta ännu?

Vad gäller areans storlek så arbetar du med fel funktionsuttryck. Du har ju konstaterat att areafunktionen $A(a)=(a^2-a^3)/2$ .

Det betyder att triangelns area då a = 2/3 är lika med $A(2/3)$ . Sätt alltså in $2/3$ istället för $a$ i uttrycket $(a^2-a^3)/2$ och förenkla.

Yngve skrev:
Mitt är skrev:
Yngve skrev:
Mitt är skrev:
Hej!
juste a1 = 0 och a2 = 2/3.
Kan ni vara snäll och säga vad ska jag göra sedan? please
Triangelns area A är en funktion av a: $A (a) = \frac{a^{2} - a^{3}}{2}$
Du vet att areafunktionen har extrempunkter (min-, max- eller terrasspunkter) då a = 0 och då a = 2/3.
Nästa steg blir att ta reda på vilken typ av extrempunkter dessa är och om någon av dem är en maxpunkt så är det bara att sätta i motsvarande värde på a i areafunktionen så får du ju ut den maximala arean.
Jag tror att det är en max punkt. Och när jag sätter in 2 / 3 i formeln så blir den så: 2 / 3 (x- 2/3) (x-1), vad ska jag göra nu???
Att areafunktionen $A(a)$ har en maxpunkt då $a=2/3$ kan du verifiera antingen genon att studera andraderivatans $A''(a)$ tecken då $a=2/3$ eller genom en teckentabell för förstaderivatan $A'(a)$ . Har ni lärt er detta ännu?
Vad gäller areans storlek så arbetar du med fel funktionsuttryck. Du har ju konstaterat att areafunktionen $A(a)=(a^2-a^3)/2$ .
Det betyder att triangelns area då a = 2/3 är lika med $A(2/3)$ . Sätt alltså in $2/3$ istället för $a$ i uttrycket $(a^2-a^3)/2$ och förenkla.

Tusen tack för hjälpen