julklappsproblemet

Jag återkommer till det tidigare publicerade inlägget gällande julklappsproblemet. Problemet var att fem personer i hemlighet lägger sitt paket under granen, därefter tar var och en slumpvis ett pkt under granen (alla ser likadana ut på utsidan). Hur många kombinationer kan då uppstå där ingen får sin egen julklapp?

Min lösning är följande: Totalt sett finns det 5! (120) sätt att fördela klapparna, därefter subtraheras alla kombinationer där en eller flera av gästerna får sin egen julklapp. Det första fallet är där alla fem gästerna råkar få sin egen klapp, endast en (1) sådan är möjlig. Vidare kan vi utesluta en komb. där fyra får sin egen, ty då måste även den femte få sin egen. När det se'n gäller att tre pers. får sin egen, så blir beräkningen  $\frac{5!}{3!2!}$=10, för övriga två personer kan de i detta fall endast få varandras julklappar (alltså inte sina egna, för då skulle alla fem få sina egna klappar). Vidare för alt. där två får sina egna så får vi först $\frac{5!}{2!3!}$=10, därefter kan de övriga tre fördela paketen mellan sig på två olika sätt utan att ngn får sin egen. Totalt blir det därför 10*2 = 20. Till sist har vi alt. där endast en av gästerna får sitt eget paket. Först $\frac{5!}{1!4!}$=5, men därefter kan de fyra övriga gästerna fördela paketen på hela 9 olika sätt utan att ngn får sitt eget. Det medför 9*5 = 45. 

Sammanlagt gör allt detta: 5! - (1 +10 + 20 + 45) = 44.

klart slut!