Jordens befolkning

Vad kom du fram till i a)?

Soderstrom skrev:

Vad kom du fram till i a)?

Konstanten 750 är befolkningen år 1750

Bra! Om befolkningen fördubblas år 1870. Hur ser då funktionen ut om vi ska ta reda på förändringsfaktorn $a$

Soderstrom skrev:

Bra! Om befolkningen fördubblas år 1870. Hur ser då funktionen ut om vi ska ta reda på förändringsfaktorn $a$

a^2?

Tänk på att $t$ är tiden i år från år 1750. 

Soderstrom skrev:

Tänk på att $t$ är tiden i år från år 1750. 

120 år?

Mellan 1750 och 1870 har det gått 120 år, ja och befolkningen ska dubblas under denna tid. Då får du ekvationen
$1500=750*a^{120}$(1500 är alltså att befolkningen dubblades från 750)

Hur löser du nu ut a?

AlexMu skrev:

Mellan 1750 och 1870 har det gått 120 år, ja och befolkningen ska dubblas under denna tid. Då får du ekvationen
$1500=750*a^{120}$(1500 är alltså att befolkningen dubblades från 750)

Hur löser du nu ut a?

Jag har tänkt och tänkt, men jag vet inte vad a är

a är förändringsfaktorn.

En exponentialfunktion har formen 
$y=C*a^x$(eller i detta fall a^t)
C är ju en konstant term och t är variabeln som ändras.

Om man t.ex. har 4% ränta på en bank med 1000kr insatt.
Då blir a = 1.04 och c = 1000
då har du exponentialfunktionen 
$y=1000*1.{04}^t$

och när du sätter in ett år för t så kommer du få ut hur mycket ränta du fick under dessa år. 
En 4 procents ökning är alltså konstanten gånger 1.04 för att öka den med 4%

I detta fall är a befolknings ökning per år. Befolkningen ökas med någon okänd procent per år och efter 120 år så dubblas befolkningen. Något tal upphöjt i 120 blir 2

Vilket ger dig ekvationen $1500 = 750*a^{120}$
Eller att $a^{120}=2$

AlexMu skrev:

a är förändringsfaktorn.

En exponentialfunktion har formen 
$y=C*a^x$(eller i detta fall a^t)
C är ju en konstant term och t är variabeln som ändras.

Om man t.ex. har 4% ränta på en bank med 1000kr insatt.
Då blir a = 1.04 och c = 1000
då har du exponentialfunktionen 
$y=1000*1.{04}^t$

och när du sätter in ett år för t så kommer du få ut hur mycket ränta du fick under dessa år. 
En 4 procents ökning är alltså konstanten gånger 1.04 för att öka den med 4%

I detta fall är a befolknings ökning per år. Befolkningen ökas med någon okänd procent per år och efter 120 år så dubblas befolkningen. Något tal upphöjt i 120 blir 2

Vilket ger dig ekvationen $1500 = 750*a^{120}$
Eller att $a^{120}=2$

tar jag då 1500/120?

Anas_HJULSTA skrev:

AlexMu skrev:

a är förändringsfaktorn.

En exponentialfunktion har formen 
$y=C*a^x$(eller i detta fall a^t)
C är ju en konstant term och t är variabeln som ändras.

Om man t.ex. har 4% ränta på en bank med 1000kr insatt.
Då blir a = 1.04 och c = 1000
då har du exponentialfunktionen 
$y=1000*1.{04}^t$

och när du sätter in ett år för t så kommer du få ut hur mycket ränta du fick under dessa år. 
En 4 procents ökning är alltså konstanten gånger 1.04 för att öka den med 4%

I detta fall är a befolknings ökning per år. Befolkningen ökas med någon okänd procent per år och efter 120 år så dubblas befolkningen. Något tal upphöjt i 120 blir 2

Vilket ger dig ekvationen $1500 = 750*a^{120}$
Eller att $a^{120}=2$

tar jag då 1500/120?

Nej, du kan förenkla $1500 = 750*a^{120 }$till $2=a^{120}$
genom att dividera med 750 på båda sidor. Hur kan du nu lösa ut a? Hur kan du få bort exponenten över a?

AlexMu skrev:

Anas_HJULSTA skrev:

Visa föregående citat

AlexMu skrev:

a är förändringsfaktorn.

En exponentialfunktion har formen 
$y=C*a^x$(eller i detta fall a^t)
C är ju en konstant term och t är variabeln som ändras.

Om man t.ex. har 4% ränta på en bank med 1000kr insatt.
Då blir a = 1.04 och c = 1000
då har du exponentialfunktionen 
$y=1000*1.{04}^t$

och när du sätter in ett år för t så kommer du få ut hur mycket ränta du fick under dessa år. 
En 4 procents ökning är alltså konstanten gånger 1.04 för att öka den med 4%

I detta fall är a befolknings ökning per år. Befolkningen ökas med någon okänd procent per år och efter 120 år så dubblas befolkningen. Något tal upphöjt i 120 blir 2

Vilket ger dig ekvationen $1500 = 750*a^{120}$
Eller att $a^{120}=2$

tar jag då 1500/120?

Nej, du kan förenkla $1500 = 750*a^{120 }$till $2=a^{120}$
genom att dividera med 750 på båda sidor. Hur kan du nu lösa ut a? Hur kan du få bort exponenten över a?

roten ur 120? eller dividera

Anas_HJULSTA skrev:

AlexMu skrev:

Visa föregående citat

Anas_HJULSTA skrev:

AlexMu skrev:

a är förändringsfaktorn.

En exponentialfunktion har formen 
$y=C*a^x$(eller i detta fall a^t)
C är ju en konstant term och t är variabeln som ändras.

Om man t.ex. har 4% ränta på en bank med 1000kr insatt.
Då blir a = 1.04 och c = 1000
då har du exponentialfunktionen 
$y=1000*1.{04}^t$

och när du sätter in ett år för t så kommer du få ut hur mycket ränta du fick under dessa år. 
En 4 procents ökning är alltså konstanten gånger 1.04 för att öka den med 4%

I detta fall är a befolknings ökning per år. Befolkningen ökas med någon okänd procent per år och efter 120 år så dubblas befolkningen. Något tal upphöjt i 120 blir 2

Vilket ger dig ekvationen $1500 = 750*a^{120}$
Eller att $a^{120}=2$

tar jag då 1500/120?

Nej, du kan förenkla $1500 = 750*a^{120 }$till $2=a^{120}$
genom att dividera med 750 på båda sidor. Hur kan du nu lösa ut a? Hur kan du få bort exponenten över a?

roten ur 120? eller dividera

En av potenslagarna på formelbladet är ${\left(a^b\right)}^c=a^{b*c}$.

Det innebär alltså att talet $a^b$ upphöjt med c blir $a^{bc}$

I detta fall är b = 120 och vi vill få reda på värdet på a. Alltså höja  $a^{120}$ upp i något tal för att $a^1$. Vilket tal är detta?

AlexMu skrev:

Anas_HJULSTA skrev:

Visa föregående citat

AlexMu skrev:

Anas_HJULSTA skrev:

Visa föregående citat

AlexMu skrev:

a är förändringsfaktorn.

En exponentialfunktion har formen 
$y=C*a^x$(eller i detta fall a^t)
C är ju en konstant term och t är variabeln som ändras.

Om man t.ex. har 4% ränta på en bank med 1000kr insatt.
Då blir a = 1.04 och c = 1000
då har du exponentialfunktionen 
$y=1000*1.{04}^t$

och när du sätter in ett år för t så kommer du få ut hur mycket ränta du fick under dessa år. 
En 4 procents ökning är alltså konstanten gånger 1.04 för att öka den med 4%

I detta fall är a befolknings ökning per år. Befolkningen ökas med någon okänd procent per år och efter 120 år så dubblas befolkningen. Något tal upphöjt i 120 blir 2

Vilket ger dig ekvationen $1500 = 750*a^{120}$
Eller att $a^{120}=2$

tar jag då 1500/120?

Nej, du kan förenkla $1500 = 750*a^{120 }$till $2=a^{120}$
genom att dividera med 750 på båda sidor. Hur kan du nu lösa ut a? Hur kan du få bort exponenten över a?

roten ur 120? eller dividera

En av potenslagarna på formelbladet är ${\left(a^b\right)}^c=a^{b*c}$.

Det innebär alltså att talet $a^b$ upphöjt med c blir $a^{bc}$

I detta fall är b = 120 och vi vill få reda på värdet på a. Alltså höja  $a^{120}$ upp i något tal för att $a^1$. Vilket tal är detta?

2

Anas_HJULSTA skrev:

AlexMu skrev:

Visa föregående citat

Anas_HJULSTA skrev:

AlexMu skrev:

Visa föregående citat

Anas_HJULSTA skrev:

AlexMu skrev:

a är förändringsfaktorn.

En exponentialfunktion har formen 
$y=C*a^x$(eller i detta fall a^t)
C är ju en konstant term och t är variabeln som ändras.

Om man t.ex. har 4% ränta på en bank med 1000kr insatt.
Då blir a = 1.04 och c = 1000
då har du exponentialfunktionen 
$y=1000*1.{04}^t$

och när du sätter in ett år för t så kommer du få ut hur mycket ränta du fick under dessa år. 
En 4 procents ökning är alltså konstanten gånger 1.04 för att öka den med 4%

I detta fall är a befolknings ökning per år. Befolkningen ökas med någon okänd procent per år och efter 120 år så dubblas befolkningen. Något tal upphöjt i 120 blir 2

Vilket ger dig ekvationen $1500 = 750*a^{120}$
Eller att $a^{120}=2$

tar jag då 1500/120?

Nej, du kan förenkla $1500 = 750*a^{120 }$till $2=a^{120}$
genom att dividera med 750 på båda sidor. Hur kan du nu lösa ut a? Hur kan du få bort exponenten över a?

roten ur 120? eller dividera

En av potenslagarna på formelbladet är ${\left(a^b\right)}^c=a^{b*c}$.

Det innebär alltså att talet $a^b$ upphöjt med c blir $a^{bc}$

I detta fall är b = 120 och vi vill få reda på värdet på a. Alltså höja  $a^{120}$ upp i något tal för att $a^1$. Vilket tal är detta?

2

tänk på formeln: ${\left(a^{120}\right)}^c=a^{120c}$. Vi vill ha $a^1$ vad gånger 120 blir 1?

AlexMu skrev:

Anas_HJULSTA skrev:

Visa föregående citat

AlexMu skrev:

Anas_HJULSTA skrev:

Visa föregående citat

AlexMu skrev:

Anas_HJULSTA skrev:

Visa föregående citat

AlexMu skrev:

a är förändringsfaktorn.

En exponentialfunktion har formen 
$y=C*a^x$(eller i detta fall a^t)
C är ju en konstant term och t är variabeln som ändras.

Om man t.ex. har 4% ränta på en bank med 1000kr insatt.
Då blir a = 1.04 och c = 1000
då har du exponentialfunktionen 
$y=1000*1.{04}^t$

och när du sätter in ett år för t så kommer du få ut hur mycket ränta du fick under dessa år. 
En 4 procents ökning är alltså konstanten gånger 1.04 för att öka den med 4%

I detta fall är a befolknings ökning per år. Befolkningen ökas med någon okänd procent per år och efter 120 år så dubblas befolkningen. Något tal upphöjt i 120 blir 2

Vilket ger dig ekvationen $1500 = 750*a^{120}$
Eller att $a^{120}=2$

tar jag då 1500/120?

Nej, du kan förenkla $1500 = 750*a^{120 }$till $2=a^{120}$
genom att dividera med 750 på båda sidor. Hur kan du nu lösa ut a? Hur kan du få bort exponenten över a?

roten ur 120? eller dividera

En av potenslagarna på formelbladet är ${\left(a^b\right)}^c=a^{b*c}$.

Det innebär alltså att talet $a^b$ upphöjt med c blir $a^{bc}$

I detta fall är b = 120 och vi vill få reda på värdet på a. Alltså höja  $a^{120}$ upp i något tal för att $a^1$. Vilket tal är detta?

2

tänk på formeln: ${\left(a^{120}\right)}^c=a^{120c}$. Vi vill ha $a^1$ vad gånger 120 blir 1?

120 ggr x blir 1, vilket tal? 0,01 eller

Anas_HJULSTA skrev:

AlexMu skrev:

Visa föregående citat

Anas_HJULSTA skrev:

AlexMu skrev:

Visa föregående citat

Anas_HJULSTA skrev:

AlexMu skrev:

Visa föregående citat

Anas_HJULSTA skrev:

AlexMu skrev:

a är förändringsfaktorn.

En exponentialfunktion har formen 
$y=C*a^x$(eller i detta fall a^t)
C är ju en konstant term och t är variabeln som ändras.

Om man t.ex. har 4% ränta på en bank med 1000kr insatt.
Då blir a = 1.04 och c = 1000
då har du exponentialfunktionen 
$y=1000*1.{04}^t$

och när du sätter in ett år för t så kommer du få ut hur mycket ränta du fick under dessa år. 
En 4 procents ökning är alltså konstanten gånger 1.04 för att öka den med 4%

I detta fall är a befolknings ökning per år. Befolkningen ökas med någon okänd procent per år och efter 120 år så dubblas befolkningen. Något tal upphöjt i 120 blir 2

Vilket ger dig ekvationen $1500 = 750*a^{120}$
Eller att $a^{120}=2$

tar jag då 1500/120?

Nej, du kan förenkla $1500 = 750*a^{120 }$till $2=a^{120}$
genom att dividera med 750 på båda sidor. Hur kan du nu lösa ut a? Hur kan du få bort exponenten över a?

roten ur 120? eller dividera

En av potenslagarna på formelbladet är ${\left(a^b\right)}^c=a^{b*c}$.

Det innebär alltså att talet $a^b$ upphöjt med c blir $a^{bc}$

I detta fall är b = 120 och vi vill få reda på värdet på a. Alltså höja  $a^{120}$ upp i något tal för att $a^1$. Vilket tal är detta?

2

tänk på formeln: ${\left(a^{120}\right)}^c=a^{120c}$. Vi vill ha $a^1$ vad gånger 120 blir 1?

120 ggr x blir 1, vilket tal? 0,01 eller

$120x=1$

dividera med 120 på båda sidor

$x=\frac{1}{120} \approx 0,00833$

Lösning på vad du gör efter du räknat ut detta:

AlexMu skrev:

Anas_HJULSTA skrev:

Visa föregående citat

AlexMu skrev:

Anas_HJULSTA skrev:

Visa föregående citat

AlexMu skrev:

Anas_HJULSTA skrev:

Visa föregående citat

AlexMu skrev:

Anas_HJULSTA skrev:

Visa föregående citat

AlexMu skrev:

a är förändringsfaktorn.

En exponentialfunktion har formen 
$y=C*a^x$(eller i detta fall a^t)
C är ju en konstant term och t är variabeln som ändras.

Om man t.ex. har 4% ränta på en bank med 1000kr insatt.
Då blir a = 1.04 och c = 1000
då har du exponentialfunktionen 
$y=1000*1.{04}^t$

och när du sätter in ett år för t så kommer du få ut hur mycket ränta du fick under dessa år. 
En 4 procents ökning är alltså konstanten gånger 1.04 för att öka den med 4%

I detta fall är a befolknings ökning per år. Befolkningen ökas med någon okänd procent per år och efter 120 år så dubblas befolkningen. Något tal upphöjt i 120 blir 2

Vilket ger dig ekvationen $1500 = 750*a^{120}$
Eller att $a^{120}=2$

tar jag då 1500/120?

Nej, du kan förenkla $1500 = 750*a^{120 }$till $2=a^{120}$
genom att dividera med 750 på båda sidor. Hur kan du nu lösa ut a? Hur kan du få bort exponenten över a?

roten ur 120? eller dividera

En av potenslagarna på formelbladet är ${\left(a^b\right)}^c=a^{b*c}$.

Det innebär alltså att talet $a^b$ upphöjt med c blir $a^{bc}$

I detta fall är b = 120 och vi vill få reda på värdet på a. Alltså höja  $a^{120}$ upp i något tal för att $a^1$. Vilket tal är detta?

2

tänk på formeln: ${\left(a^{120}\right)}^c=a^{120c}$. Vi vill ha $a^1$ vad gånger 120 blir 1?

120 ggr x blir 1, vilket tal? 0,01 eller

$120x=1$

dividera med 120 på båda sidor

$x=\frac{1}{120} \approx 0,00833$

Lösning på vad du gör efter du räknat ut detta:

Visa spoiler

Tillbaka till den ursprungliga ekvationen $2=a^{120}$ om du nu tar och höjer upp båda sidor med $\frac{1}{120}$ får du

$2^{\frac{1}{120}}={\left(a^{120}\right)}^{\frac{1}{120}}$

$2^{\frac{1}{120}}=a^{120*\frac{1}{120}}$

$2^{\frac{1}{120}}=a^1$

Så a är alltså lika med $2^{\frac{1}{120}}$

vilket ungefär är 1.0058, alltså ökar befolkningen ungefär med 0.58% per år. 

När du får sådana här ekvationer vill du försöka isolera a och sedan få bort exponenten ovanför den genom att höja upp båda sidor med talet som gör om exponenten till 1. 

Tack så mycket, ha en trevlig kväll!