jämn eller udda funktion eller om det finns så symmetri

För just andragradskurvor kan man hitta symmetrilinjen med hjälp av pq-formeln. Enligt den ligger kurvans nollställen i

$x = -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$,

Vilket säger att från x-värdet -p/2 ska man gå $\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$ steg åt antingen vänster eller höger för att hitta nollställena. Det antyder att x = -p/2 ligger liksom "i mitten", och så är det också: hela kurvan är symmetrisk runt detta värde.

Mer generellt kan man undersöka symmetri med en ekvation. Kalla symmetrilinjen (om den finns) x=a. Att kurvan är symmetrisk kring detta innebär rent matematiskt att

$f(a+x) = f(a-x)$,

för alla x. Man går alltså x steg åt både höger och vänster från symmetrilinjen, och kräver att y-värdet ska bli samma i båda fall. Så om det går att välja ett a-värde så att den här likheten gäller oavsett x, då är a en symmetrilinje.

Du kan läsa mer om andragradsfunktioner och deras egenskaper här.

Bläddra ner till slutet så hittar du ett avsnitt om symmetrilinjen.

Om en funktion är symmetrisk runt x = 3 så är f(x) = f(6-x) för alla x.

Din funktion kan skrivas x(6-x) och då ser man direkt att den är symmetrisk på det viset, för f(6-x) = (6-x)(6-(6-x)) = (6-x)x.

okej tack för hjälpen men finns det någon mer allmän formel eller tillvägagångssätt för jag har löser inte enbart andragradsfunktioner utan även 3e osv

Maremare skrev:

okej tack för hjälpen men finns det någon mer allmän formel eller tillvägagångssätt för jag har löser inte enbart andragradsfunktioner utan även 3e osv

Läste du mitt inlägg?

Skaft skrev:

Maremare skrev:

okej tack för hjälpen men finns det någon mer allmän formel eller tillvägagångssätt för jag har löser inte enbart andragradsfunktioner utan även 3e osv

Läste du mitt inlägg?

jaha oj missade sista delen!

men okej så om f(a+x) = f(a-x) då kan man se om funktionen är jämn eller udda i punkten  a genom att testa f(-a-x) = -f(a-x) eller hur testar man det då?

menar alltså e f(-x) = f(x) om den jämna elr udda f(-x) = -f(x) 

Maremare skrev:

jaha oj missade sista delen!

men okej så om f(a+x) = f(a-x) då kan man se om funktionen är jämn eller udda i punkten  a genom att testa f(-a-x) = -f(a-x) eller hur testar man det då?

Nej inte så.

menar alltså e f(-x) = f(x) om den jämna elr udda f(-x) = -f(x) 

Ja det stämmer.

Det betyder också att

• om f(x-a) = f(a-x) så är funktionen jämn
• om f(x-a) = -f(a-x) så är funktionen udda

f(a+x) är y-värdet i en punkt till höger om symmetrilinjen (om x är positivt, men det spelar ingen roll), och f(a-x) är y-värdet i en punkt lika långt åt andra hållet. Därför beskriver f(a+x) = f(a-x) en funktion som är jämn kring x-värdet a, eftersom detta säger att y-värdena är lika. Är funktionen istället udda kring a så är y-värdena lika men med motsatt tecken, dvs. f(a+x) = -f(a-x).

Notera att detta sammanfaller med de vanliga definitionerna för jämna/udda funktioner om man sätter a=0, det är alltså bara en utvidgning.

Yngve skrev:

Maremare skrev:

jaha oj missade sista delen!

men okej så om f(a+x) = f(a-x) då kan man se om funktionen är jämn eller udda i punkten  a genom att testa f(-a-x) = -f(a-x) eller hur testar man det då?

Nej inte så.

menar alltså e f(-x) = f(x) om den jämna elr udda f(-x) = -f(x) 

Ja det stämmer.

Det betyder också att

• om f(x-a) = f(a-x) så är funktionen jämn
• om f(x-a) = -f(a-x) så är funktionen udda

okej men förstår inte hur man ska veta vart a ska vara, varför byter  den plats i VL och HL?

f(-x) = -f(x) förstår jag men hur vet man vart man ska ha a?

Skaft skrev:

f(a+x) är y-värdet i en punkt till höger om symmetrilinjen (om x är positivt, men det spelar ingen roll), och f(a-x) är y-värdet i en punkt lika långt åt andra hållet. Därför beskriver f(a+x) = f(a-x) en funktion som är jämn kring x-värdet a, eftersom detta säger att y-värdena är lika. Är funktionen istället udda kring a så är y-värdena lika men med motsatt tecken, dvs. f(a+x) = -f(a-x).

Notera att detta sammanfaller med de vanliga definitionerna för jämna/udda funktioner om man sätter a=0, det är alltså bara en utvidgning.

okej tack för hjälpen, då är jag med! 

Maremare skrev:

okej men förstår inte hur man ska veta vart a ska vara, varför byter  den plats i VL och HL?

f(-x) = -f(x) förstår jag men hur vet man vart man ska ha a?

Du kan ha a var som helst.

De byter plats eftersom -(x-a) = -x+a = a-x.

Yngve skrev:

Det betyder också att

• om f(x-a) = f(a-x) så är funktionen jämn
• om f(x-a) = -f(a-x) så är funktionen udda

Fast vilka punkters y-värden är det som jämförs där? x-a och a-x ligger symmetriskt kring y-axeln, inte kring x=a. Välj t.ex. a=2, x=1 så kräver den första ekvationen att f(1-2) = f(2-1), dvs f(-1) = f(1). Det blir en vanlig jämn funktion kring y-axeln.

Skaft skrev:

Fast vilka punkters y-värden är det som jämförs där? x-a och a-x ligger symmetriskt kring y-axeln, inte kring x=a. Välj t.ex. a=2, x=1 så kräver den första ekvationen att f(1-2) = f(2-1), dvs f(-1) = f(1). Det blir en vanlig jämn funktion kring y-axeln.

Ja det beskriver endast en funktion som är symmetrisk m.a.p. y-axeln, dvs m.a.p. x = 0.

För symmetri m.a.p  ngn annan linje, t.ex. x = b, så gäller istället det som du har skrivit, att f(b+x) = f(b-x), för alla x sådana att både b+x och b-x tillhör funktionens definitionsmängd.

Okej, då är vi överens =)

Skaft skrev:

Okej, då är vi överens =)

Ja, förlåt om jag var otydlig 🙏