Jämn diffekvation

Hej,

Om man vet att ekvationen har en unik lösning och man visat att funktionerna $y$ och $z$ båda löser ekvationen så måste det gälla att $y(x)=z(x)$ för alla $x$ där ekvationen är definnierad. Här är $z(x) = y(-x)$ varför $y(x)=y(-x)$ för alla $x$ där ekvationen är definierad; om dessa $x$ utgör definitionsmängd till funktionen $y$ så ger alltså entydigheten att funktionen $y$ är jämn.

Jag är med på det där med entydighet, men hur ser du att z löser ekvationen? Jag försökte göra variabelbyte och får då z''+2xz'-2z=0, och det är ju en ny ekvation, som borde ha andra lösningar?

Ekvationen säger att $y^{\prime\prime}(x)-2xy^\prime(x)-2y(x)=0$, så om den även är definierad för $-x$ så följer det att

    $y^{\prime\prime}(-x)-2(-x)y^\prime(-x)-2y(-x)=0$.

Definieras $z(x) = y(-x)$ får man därför $z^{\prime\prime}(x) = y^{\prime\prime}(-x)$ och $z^\prime(x) = -y^\prime(-x)$ så att

    $z^{\prime\prime}(x)-2xz^\prime(x)-2z(x)=0.$

Jaha, nu fattar jag. Tack!