Jämförelsesats

Om

$0\le f\left(x\right)\le g\left(x\right)$

för alla x i integrationsintervallet så gäller:

a) om den generaliserade integralen med g(x) som integrand är konvergent så är integralen med f(x) som integrand också konvergent,

b) om den generaliserade integralen med f(x) som integrand är divergent så är integralen med g(x) som integrand också divergent.

Säg att den generaliserande integranden för g(x) är $\sqrt{x}+C$ men det nämnda intervallet är $0\le x\le 1$. Ska detta då tolkas som att den generaliserande integranden för g(x) är konvergent eller divergent? Om man tar hänsyn till intervallet så anser jag att den är konvergent, medan den är divergent utan ett begränsat intervall. Jag är osäker på hur jag ska tolka satsen. Innebär uttrycket "den generaliserande integranden" att intervall inte tas hänsyn till? Dvs exemplet ovan är divergent?

Jag sitter just nu med en uppgift som ger mig ${\int }_0^1\frac{1}{\sin x}dx$ varpå jag ser att $\frac{1}{\sin x}\ge \frac{1}{x}$ i det givna intervallet. Och ${\int }_{}^{}\frac{1}{x}dx$ är divergent, medan jag anser att ${\int }_0^1\frac{1}{x}dx$ är konvergent.

Uppgiftens integrand är divergent enligt facit, så då bör de även anse, enligt satsen, att integranden av $\frac{1}{x}$ är divergent.

Har jag fel i att ${\int }_0^1\frac{1}{x}dx$ är konvergent eller ska man inte ta hänsyn till intervallet när man talar om "den generaliserande integranden"?