Jämförelse sats Generaliserade integraler

Hej! Jag har suttit lite med generaliserade integraler. Till uppgift hade jag att avgöra om integraler var konvergenta och divergenta med hjälp av en jämförelse sats.

Jämförelsesatsen så som jag har till handa lyder

$$\begin{gathered} Om 0\le f \left(x\right) \le g \left(x\right) gäller för alla x inom integration\sin tervallet så gäller det även att \\ a) {\int }_a^{b}g(x) = konvergent \Rightarrow f(x) = konvergent \\ b) {\int }_a^{b}g\left(x\right) = divergent \Rightarrow f\left(x\right) = divergent \end{gathered}$$

Jag har löst ett par uppgifter och fått rätt enligt facit men känner mig osäker i mitt resonemang och skulle gärna vilja ha feedback på om jag gör rätt.

För integralen ${\int }_2^{\infty }\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx$ tänkte jag så här:
Jag vänder först lite på jämförelse satsen :

$$\begin{gathered} g \left(x\right) \le f \left(x\right) \le \infty \\ Ger att \\ {\int }_a^{b}g\left(x\right) = divergent \Rightarrow f\left(x\right) = divergent \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{1}{\sqrt{x-1}}\approx \frac{1}{\sqrt{x}} för stora värden på x \\ \frac{1}{\sqrt{x}} = g\left(x\right) \\ {\int }_2^{\infty }\frac{1}{\sqrt{x}}dx= \left[2\sqrt{x}\right]{\int }_2^{\infty }= \\ \underset{B\to \infty }{\lim }2(\sqrt{B}-\sqrt{2})= "\infty " \\ då g\left(x\right) är divergent följer det att f\left(x\right) är divergent \end{gathered}$$

För integralen ${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x+x^5}}dx$ :

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x+x^5}}dx \approx \frac{1}{\sqrt{x}} för små värden på x \\ g\left(x\right) = \frac{1}{\sqrt{x}} \\ {\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\left[2\sqrt{x}\right]{\int }_0^1= \\ \underset{B\to 0}{\lim } 2-2\sqrt{B}=2 \\ g\left(x\right) är konvergent av detta följer att f\left(x\right) är konvergent. \end{gathered}$$

Har jag resonerat något sånär rätt här? Läroboken ger mig inte mycket att jobba med.
Tusen tack i förväg!