Jämförelse av positiva serier

Håller på med uppgift h)
Tänker att man ska hitta en funktion som är större som även den konvergerar. Problemet är att jag bara hittar divergerande större funktioner och det hjälper ju inte att lösa problemet. Om man "hittar" en mindre funktion som konvergerar säger väl mig ingenting det heller.
${\sum_{k = 1}^{\infty} \ln (\frac{k + 1}{k}) \times \frac{1}{\sqrt{k + 1}}}_{}^{} < \frac{1}{\sqrt{k + 1}}$ men $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k + 1}}$ är ju divergent och större.
Däremot om jag tar gränsvärdet för funktionen då ser jag ju att den går mot noll.
$\lim_{k \to \infty} \ln (\frac{k + 1}{k}) \times \frac{1}{\sqrt{k + 1}} = 0$
Men detta i sig räcker väl inte för att visa att funktionen är konvergerande?

Har du testat att integrera uttrycket?

Att termerna går mot 0 när k går mot oändligheten räcker inte nej, jämför med

$\sum_{x = 1}^{\infty} \frac{1}{x}$ .

jag tror vi måste använde taylors formel, för ln(k+1) och lnk

Jag tror som Suad.

Ln((k+1)/k)/rot(k+1) < ln(1+1/k)/rot k = (1/k + O(1/k2))/rot k = 1/k^1,5 * (1+ O(1/k)) där första faktorn är konvergent pga 1,5>1 och andra har det ändliga nollskilda gränsvärdet 1, så produkten är också konvergent enligt jämförelsesats.

Olikheten $\ln{(k+1)}-\ln{(k)} < \frac{1}{k}$ , som gäller för alla $k \geq 1$ , skulle vara användbar här.

Hej,

Medelvärdessatsen ger att det finns tal $k<c_k<k+1$ sådana att

$\ln(k+1)-\ln k=\frac{1}{c_k}$

vilket medför att du kan skriva olikheterna

$\frac{1}{(k+1)\sqrt{k+1}}\leq \frac{\ln(k+1)-\ln k}{\sqrt{k+1}}\leq \frac{1}{k\sqrt{k+1}} \leq \frac{1}{k^{1.5}}$ .

Eftersom serien $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{1.5}}$ är konvergent så är den aktuella serien också konvergent enligt Jämförelsekriteriet.

Tack för alla svaren! :) Nu känns det mycket klarare.

Svara

Visa senaste svar