Jämförelse av generaliserade integraler

Helt lost på denna. Har börjat med att kolla om integralerna är konvergenta, och sen fått fram ett värde och satt in i ekvationen, tror dock det är fel. Har jag börjat rätt på denna uppgift?
$\int_{π}^{b} \frac{\cos x}{x} d x$ och $\frac{\cos x}{x} < \frac{1}{x}$ vilket ger $\int_{π}^{b} \frac{1}{x} = {[\ln x]}_{π}^{b} = \ln b - lnπ$
$\int_{π}^{b} \frac{\sin x}{x^{2}} d x$ , $\frac{\sin x}{x^{2}} < \frac{1}{x^{2}}$ vilket ger $\int_{π}^{b} \frac{1}{x^{2}} = {[- \frac{1}{x}]}_{π}^{b} = - \frac{1}{b} + \frac{1}{π}$
då har jag $- \frac{1}{b} + \frac{1}{π} = \ln b - lnπ$ + $\frac{\sin b}{b}$

Använd partiell integration, integrera cos och derivera 1/x för att få fram högersidan.

Cos/sin är < eller = 1, du

kan inte ha sträng olikhet där.

Första jämförelsen verkar vara rätt gjord, men den leder inte till något eftersom ln b kan bli oändligt stort när b växer.

Andra jämförelsen verkar också vara rätt räknad, men slutsatsen är helfel. Du har inte räknat ut integralerna själva utan skattat dem uppåt. Jämför med att det står två på båda sidor från början. Sen säger du om första tvåan att den är mindre än 10. Och om den andra att den är mindre än 5. Båda de sakerna är sanna, men 10 är inte =5. Men du vet att båda var samma tal så om den ena var mindre än 5 måste den andra vara det också.

Tack så mycket för svaret! Tror jag är med på noterna nu.

Tänk på eftersom det som sökes är information om vänsterledet så ska vänsterledet stå kvar som det står. Det blir nog lättare att se vad som händer i högerledet om det står

$\int_{π}^{b} \frac{\sin (x)}{x^{2}} d x = \{\sin (x) a n t a r m a x v ä r d e t 1, b y t u t \sin (x) t i l l 1 v i l k e t g e r o l i k h e t\} < \int_{π}^{b} \frac{1}{x^{2}} d x$ .

Idén är introducera en mindre än olikhet. Som vi ska kunna använda i uppgifts ekvationen för att hitta en övre gräns för vänsterledet i uppgifts ekvationen.

Så du menar alltså att $\int_{π}^{b} \frac{\sin (x)}{x^{2}} d x < \int_{π}^{b} \frac{1}{x^{2}} d x m e n \frac{\sin (x)}{x^{2}} \leq \frac{1}{x^{2}}$ ?
Sen så tänkte jag även på när jag skattar $\int_{π}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x^{2}} d x$ + $\frac{\sin (x)}{x}$ vilket ger mig att $\int_{π}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x = {[- \frac{1}{x}]}_{π}^{\infty} = \frac{1}{π}$ + $\frac{\sin x}{x}$ , betyder det att man ska veta att $\frac{\sin x}{x}$ är en ändlig funktion?

Du kan bara anta att sin b/b är ändlig, för du vet att b är större än pi. Hade det varit nära 0 hade jag motiverat det.

Sin kan vara =1 men hela integralen kan inte vara lika stor för sin börjar på 0 och kan aldrig gå högre än 1 så den växer långsammare därifrån också.

karlstroom skrev:
Så du menar alltså att $\int_{π}^{b} \frac{\sin (x)}{x^{2}} d x < \int_{π}^{b} \frac{1}{x^{2}} d x m e n \frac{\sin (x)}{x^{2}} \leq \frac{1}{x^{2}}$ ?

Mitt svar: Nej så menar jag inte. Jag menar att integralen i vänsterledet är strikt mindre än integralen i högerledet eftersom

sin(x) antar maxvärdet 1. Vi byter alltså ut sin(x) i vänsterledet till sitt maxvärde, 1, eftersom det blir enklare att räkna ut integralen och vi behöver bara hitta en övre gräns för vänsterledet./

Sen så tänkte jag även på när jag skattar $\int_{π}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x^{2}} d x$ + $\frac{\sin (x)}{x}$ vilket ger mig att $\int_{π}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x = {[- \frac{1}{x}]}_{π}^{\infty} = \frac{1}{π}$ + $\frac{\sin x}{x}$ , betyder det att man ska veta att $\frac{\sin x}{x}$ är en ändlig funktion?

Mitt svar: x -> oändligheten gör att sin(x) / x går mot noll, visa detta! (Hint: jämför med konstant / x då x -> oändligheten)/

Redigerade ditt inlägg så att det syns tydligare vad som är citat och vad det är du har skrivit själv. /Smaragdalena, moderator

Svara

Visa senaste svar