Jämföra storleksordning av tal

Nej, det går inte. Mängden av de komplexa talen, $\mathbb{C}$, är inte utrustad med en ordningsrelation "" som de reella talen är.

Det går att ordna de komplexa talen, men som naytte är inne på så kan inte ordningen vara kompatibel med de aritmetiska operationerna (det går inte att göra $\mathbb{C}$ till ett "ordered field"). Det betyder exempelvis att egenskapen

$x< y \implies x + a < y + a$ för alla $a$ inte kan vara uppfylld för $\mathbb{C}$. Det är en ganska fundamental egenskap man vill ska gälla, och som tydligt gäller för reella tal. Därför brukar man inte tala om $\mathbb{C}$ som en ordnad mängd och skulle troligtvis ge fel på ett prov.

Men eftersom $\mathbb{C}$ och $\mathbb{R}$ har samma kardinalitet finns det en bijektion $f:\mathbb{C}\to \mathbb{R}$ och vi kan definiera en ordning genom

$z<w\iff f(z)<f(w)$.

Detta är ett exempel på en total ordning av $\mathbb{C}$. Den är bara inte särskilt användbar (så vitt jag vet).

Mängden $\{ai:a\in\mathbb{R}\}$ är en delmängd av den totalt ordnade mängden $\mathbb{C}$ och därför har den en total ordning.

Man skulle t.ex. kunna definiera en ordning $<_i$ via

$ai<_i bi \iff a < b$, där den högra ordningen är den vanliga på $\mathbb{R}$.

Intressant Gustor. Jag tänkte faktiskt spontant att rent imaginära tal borde gå att ordna som vanligt. 

Förresten, är $i$ definierat som positivt eller negativt eller finns inte den egenskapen alls? Om definitionen av $i$ är $\sqrt{-1}$ så följer det väl per definitionen av kvadratroten att det ska vara positivt? Eller är det korrekta egentligen $i^2=-1 \iff i=\pm \sqrt{-1}$?

Man brukar inte definiera $i:= \sqrt{-1}$. Om vi vill gå från $\mathbb{R}$ till $\mathbb{C}$ måste vi förutsätta att vi inte vet något om $\mathbb{C}$. Hur ska du då motivera vad $\sqrt{-1}$ är? På $\mathbb{R}$ är rotfunktionen endast definierad för icke-negativa, reella tal.

Istället brukar man definiera den imaginära enheten just som $i^2 = -1$, men det är inte samma sak som $i = \pm \sqrt{-1}$. "$\sqrt{-1}$" är inte definierat innan vi har de komplexa talen.

Ja, eller om vi ska vara riktigt rigorösa så brukar man faktiskt defininera de komplexa talen som ordnade par $(a,b)$ av reella tal $a,b$. Sedan säger man att $(a,b) := a+bi$. Kritiskt är att när man definierar sin binära operation multiplikation, så gör man det på ett sätt som tvingar $i^2 = -1$. För två komplexa tal $(a,b),(c,d)$ bestämmer vi alltså:

$\displaystyle (a,b)\cdot (c,d) := (ac - bd, ad+bc)$

Man kan givetvis definiera lite vad man vill på sin talmängd, men frågan är alltid om det är användbart. Det finns ingen användbar ordningsrelation man kan definiera på mängden av de komplexa talen.

Ja, om $<_i$ är en total/linjär ordning av $\mathbb{C}$ skulle vi kunna säga att ett tal $z\in\mathbb{C}$ är positivt om $z\geq_i 0$, annars negativt.

Problemet är att om vi begränsar $<_i$ till $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ kommer vi aldrig kunna få något som är förenligt med den vanliga ordningen på $\mathbb{R}$. Vi har ju t.ex. att $x^2\geq 0$ för alla $x\in\mathbb{R}$, som följer från axiomen. Kort sagt kan vi inte tala om positiva/negativa komplexa tal på ett sätt som expanderar konceptet positiva/negativa tal i $\mathbb{R}$.

Hela kruxet uppstår ju så klart eftersom vi i $\mathbb{C}$ har ett tal vars produkt med sig självt ger ett negativt tal. Oavsett om vi bestämmer att $i$ är positivt eller negativt uppstår situationen där vi har en produkt av två tal med samma tecken som ger ett tal av motsatt tecken.

Det kan ju vara lockande att tänka att t.ex. $-3i$ är negativt och $7i$ är positivt, men minustecknet framför $3i$ betyder snarare "den additiva inversen av $3i$". Det finns ingen a priori ordning som säger att $-3i<0$ eller att $7i>0$.

Vill bara visa lite uppskattning för diskussionen som bröt ut här.

Detta är vad matematik egentligen är! Önskar man lärde sig mer sådant här på gymnasiet istället för att göra i princip exakt samma sak i tre år.