Jämföra potenser, visa vilken som är störst

Hej!

Jag har som uppgift fått att jag ska visa vilken av dessa potenser som är störst:
24⁴² eller 42²⁴.

Jag kan se bara genom att kolla på potenserna, att 24⁴² är mycket större, men jag kan inte komma på något bra sätt att motivera detta. Jag tänker att jag på något sätt måste förenkla potenserna för att enklare kunna jämföra dem med varandra. Jag har försökt ett par saker:

Höja upp båda potenserna med 1/24:
(24⁴²)^1/24och (42²⁴)^1/24

Detta provade jag för att försöka bli av med den mindre exponenten 24 ur 42²⁴och därmed göra hela jämförelsen enklare, men om jag förstått rätt går det inte för att $24^{\frac{42}{24}} o c h 42$ inte håller samma proportioner som (24⁴²) och (42²⁴).

Faktorisera baserna och exponenterna för att hitta gemensamma faktorer:

$42^{24} = {(2 \times 3 \times 7)}^{2 \times 2 \times 2 \times 3}$

$24^{42} = {(2 \times 2 \times 2 \times 3)}^{(2 \times 3 \times 7)}$

Men inte heller med detta kom jag verkligen någonstans. Jag tänkte först att jag kunde dela uttrycken med gemensamma faktorer, men inte heller då håller uttrycken samma proportioner till varandra.

Jag är helt enkelt fast, skulle någon kunna hjälpa mig?
Tack!

$42^{24} = {(42^{2})}^{12} = 1764^{12} 24^{42} = {(24^{3})}^{14} = 13824^{14}$

Finns många sätt. Jag tycker faktoruppdelningen är bra, men den kräver lite trixande. Man kan gruppera faktorerna så att man håller isär de faktorer som är gemensamma för båda tal, och sen kan man jämföra "överskotten":

$42^{24} = (2\cdot 3)^{24}\cdot 7^{24}\\ 24^{42} = (2\cdot 3)^{42}\cdot (2\cdot 2)^{42}$

Om man sen skriver om $(2\cdot 2)^{42} = 2^{84} = (2^3)^{28} = 8^{28}$ så är det entydigt vad som är störst:

$42^{24} = 6^{24}\cdot 7^{24}\\ 24^{42} = 6^{42}\cdot 8^{28}$

Skaft skrev:
Finns många sätt. Jag tycker faktoruppdelningen är bra, men den kräver lite trixande. Man kan gruppera faktorerna så att man håller isär de faktorer som är gemensamma för båda tal, och sen kan man jämföra "överskotten":

$42^{24} = (2\cdot 3)^{24}\cdot 7^{24}\\ 24^{42} = (2\cdot 3)^{42}\cdot (2\cdot 2)^{42}$

Om man sen skriver om $(2\cdot 2)^{42} = 2^{84} = (2^3)^{28} = 8^{28}$ så är det entydigt vad som är störst:

$42^{24} = 6^{24}\cdot 7^{24}\\ 24^{42} = 6^{42}\cdot 8^{28}$

Varför blir $42^{24} = {(2 \times 3)}^{24} \times 7^{24}$ ?
händer ingenting med exponenten i 7²⁴om man multiplicerar ${(2 \times 3)}^{24} \times 7^{24}$ ?

Annars tror jag att jag fattar!
Tack!

Talet 42 består av en tvåa, en trea och en sjua: 2*3*7. Så om vi har $42^{24}$ , dvs 24 st 42:or, då har vi 24 st tvåor, 24 st treor, och 24 st sjuor: $2^{24}\cdot 3^{24}\cdot 7^{24}$ .

Parenteserna jag satte dit var bara för att gruppera lite. 2*3 var ju de faktorer som även fanns i andra talet, och de ville jag hålla isär från 7:an som bara fanns i ena.

Skaft skrev:
Talet 42 består av en tvåa, en trea och en sjua: 2*3*7. Så om vi har $42^{24}$ , dvs 24 st 42:or, då har vi 24 st tvåor, 24 st treor, och 24 st sjuor: $2^{24}\cdot 3^{24}\cdot 7^{24}$ .

Parenteserna jag satte dit var bara för att gruppera lite. 2*3 var ju de faktorer som även fanns i andra talet, och de ville jag hålla isär från 7:an som bara fanns i ena.

Ah, jag fattar! Tack så mycket!

Svara

Visa senaste svar