Jämföra funktionskurvor med beskrivningar

Helette skrev :

Hur ser en kurva med

a) Förstaderivata som är positiv för alla x

b) Förstaderivata som är negativ för alla x

c) Andraderivata som är negativ för alla x, dvs en förstaderivata som minskar i värde för alla x

d) Andraderivata som är positiv för alla x

ut?

 

Tacksam för svar ! = )

Pröva dig fram!

Börja med enkla kurvor.

Ta en rät linje med positiv lutning, t.ex $y=2x$. Vad har den för förstaderivata?

Ta en rät linje med negativ lutning, t.ex $y=-3x$. Vad har den för förstaderivata?

Gå sedan vidare med parabler, t.ex $y=x^2$ och $y=-x^2$. Vad har de för förstaderivator? Andraderivator?

y'=2

y'=-3

y'=2x --> y''=2

y'=-2x --> y''=-2

Så? Vad sen? 

Helette skrev :

y'=2

y'=-3

y'=2x --> y''=2

y'=-2x --> y''=-2

 

Så? Vad sen? 

Bra.

Passar någon eller några av dessa in på beskrivningarna i uopgiften?

Yngve skrev :

Bra.

Passar någon eller några av dessa in på beskrivningarna i uopgiften

Vad sen? 

a) Förstaderivata som är positiv för alla x: y=2x

b) Förstaderivata som är negativ för alla x: y'=-3x

c) Andraderivata som är negativ för alla x, dvs en förstaderivata som minskar i värde för alla x: -x^2

d) Andraderivata som är positiv för alla x: x^2

Typ så? C och D är mest konstiga. Om jag har en graf och vill jämföra, väljer jag olika värden på x och studerar lutningen? Om man har en graf med vanliga funktionen, hur ser man andraderivatan på den? 

Helette skrev :

Yngve skrev :

Bra.

Passar någon eller några av dessa in på beskrivningarna i uopgiften

Vad sen? 

a) Förstaderivata som är positiv för alla x: y=2x

b) Förstaderivata som är negativ för alla x: y'=-3x

c) Andraderivata som är negativ för alla x, dvs en förstaderivata som minskar i värde för alla x: -x^2

d) Andraderivata som är positiv för alla x: x^2

Typ så? C och D är mest konstiga. Om jag har en graf och vill jämföra, väljer jag olika värden på x och studerar lutningen? Om man har en graf med vanliga funktionen, hur ser man andraderivatan på den? 

Ja det är rätt.

För att avgöra om förstaderivatan är positiv eller inte tittar du bara på tangentens lutning som vanligt.

Vad gäller sambandet mellan grafernas utseende och andraderivatornas tecken så gäller följande:

• En strikt konvex funktion har en andraderivata som är större än 0. Här ser grafen ut som någon sorts skål, alla kordor ligger ovanför grafen.
• En strikt konkav funktion har en andraderivata som är mindre än 0. Här ser grafen ut som någon sorts kupol, alla kordor ligger under grafen.

Observera att en funktion kan vara konvex i vissa intervall och konkav i andra intervall. De punkter där funktionen övergår mellan konvexitet och konkavitet kallas inflexionspunkter.