Jämföra 2 tal (MaFy) (Matematik/Matte 5)

Zeshen skrev:
Kan man på något enkelt sätt jämföra A och B utan hjälpmedel?
Behöver man approximera talen eller finns det andra sätt?
Jag har försökt ta A och B i kubik men $B^{3}$ blev för krångligt.

Det verkar som trådet duplicerades, Kan man bort bort ett av dem?

Det verkar som trådet duplicerades, Kan man bort bort en av dem?

Nej, men jag kan :)

Nu är det fixat!

Jag vet inget annat sätt än att hitta närmevärden till kubikrötterna.

Hej!

Det gäller att $(A/3)^3 = 2$ och $((B-1)/2)^3 = 3$ så då kan du säga att

$(A/3)^3 <>$

Kubikrotfunktionen är strängt växande så då kan du dra slutsatsen att

$A/3 < 0.5(b-1)="" \iff="" 2a=""><>$ .

Sedan följer det att $A < 1.5="" b="" -="">$ .

Albiki skrev:
Sedan följer det att $A < 1.5="" b="" -="">$ .

Men hur vet vi hur A och B förhåller sig till varandra utifrån A < 1.5B - 1.5?

Zeshen skrev:
Albiki skrev:
Sedan följer det att $A < 1.5="" b="" -="">$ .
Men hur vet vi hur A och B förhåller sig till varandra utifrån A < 1.5B - 1.5?

Det vet vi inte alls. För de här talen gäller i själva verket både A < 1,5B - 1,5 och B < 1,5A - 1,5.

Den enda lösning jag kan komma på bygger på att ta A och B i kubik. Jag kan visa om du vill men den är rätt lång. Vad får du själv om du tar B i kubik? Det hjälper om man kan binomialteoremet och vet att $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

Annars kan man börja med att ta fram den regeln genom att multiplicera ihop $(a^{2} + 2 a b + b^{2}) (a + b)$

Se snygg lösning i denna tråd gällande samma fråga!

https://www.pluggakuten.se/trad/mafy-provet-2017-fraga-16-vilket-tal-ar-storst-minst/

tomast80 skrev:
Se snygg lösning i denna tråd gällande samma fråga!
https://www.pluggakuten.se/trad/mafy-provet-2017-fraga-16-vilket-tal-ar-storst-minst/

Den var bättre än min krångliga, läs den i länken i stället!

Det gäller att $1<>$ så $B<>$ . Notera även att

$3(A/3)^3=6=2((B-1)/2)^3.$

Dividera likhetens båda sidor med $(B/3)^3$ och döp $x=A/B$ för att få

$3x^3=2(\frac{3(B-1)}{2B})^3.$

Det gäller att $3(B-1)/(2B) = 3/2(1-\frac{1}{B})$ så

$x^{3} = \frac{3^{2}}{2^{2}} (1 - \frac{1}{B})^{3} .$

Kvoten A/B är tydligen lika med

$A/B = 1.5^{2/3}(1-B^{-1}).$

Notera att 3<B<5 så

$1-1/3<><1-1 \iff=""><><4>$

vilket ger

$\frac{2^3}{3^3}\frac{3^2}{2^2}<><\frac{2^2}{5}\frac{3^2}{2^2}\iff><><>$

Albiki skrev:
Kvoten A/B är tydligen lika med
$A/B = 1.5^{2/3}(1-B^{-1}).$
Notera att 3<B<5 så
$1-1/3<><>$
vilket ger

$\frac{2^3}{3^3}\frac{3^2}{2^2}<><\frac{2^2}{5}\frac{3^2}{2^2}\iff><><>$

De sista stegen är fel. Det ska vara

$\frac{2^{6}}{5^{3}} \frac{3^{2}}{2^{2}} = \frac{2^{4} 3^{2}}{5^{3}} = \frac{16 \cdot 9}{125} = \frac{90 + 54}{125} = \frac{144}{125} .$

Det är enklare att jämföra talen om man först multiplicerar dem båda med talet $7$ :

$7A=3\cdot\sqrt[3]{2\cdot 7^3}=3\cdot \sqrt[3]{686}$

$3\sqrt[3]{729}=3\cdot \sqrt[3]{9^3}=3\cdot 9=27$

$7B=7+2\cdot \sqrt[3]{3\cdot 7^3}=7+2\cdot \sqrt[3]{1029}>$

$7+2\cdot \sqrt[3]{1000}=7+2\cdot \sqrt[3]{10^3}=7+2\cdot 10=27$

Sammanfattningsvis:

$7A<>$ och $7B>27\Rightarrow$

$A<>$ , d.v.s. alternativ (a) är rätt!

tomast80, hur kom du på idén att multiplicera just med 7?

Smaragdalena skrev:
tomast80, hur kom du på idén att multiplicera just med 7?

Tänkte att i grunden är nog skillnaden mellan talen ganska liten och då vill jag blåsa upp skillnaden genom en faktor. En som är tillräckligt stor för att ”enkelt” göra approximationer, men också inte för stor för att kunna räkna ut talen inom kubikrötterna utan miniräknare. Då känns det som $10$ är det största tal som är rimligt att räkna ut kuben för. Prova gärna denna metod med att multiplicera med något av talen $2-6$ för att se vad det skulle ge!

Smaragdlena, var det svar på frågan? Lite ”trial and error” alltså...

"Trial and error" är en bra förklaring - jag undrade mest om det var något jättebra knep som jag inte insåg...

Smaragdalena skrev:
"Trial and error" är en bra förklaring - jag undrade mest om det var något jättebra knep som jag inte insåg...

Inget mer utöver att jag inte ville ha för stora tal inom kubikroten.

Inspirerad av Tomas tankar tänkte jag

$A = \sqrt[3]{2 \cdot 3^3} \iff A = \sqrt[3]{54}$

och

$B = 1+\sqrt[3]{3 \cdot 2^3} \iff B = 1+\sqrt[3]{24}$ .

Så att

$A - B = \sqrt[3]{54}-1-\sqrt[3]{24}$ .

Om man kan visa att $0<><>$ så följer det att $A-B <>$ .

Problemet är ett specialfall av en mera allmän funktion, men det är lite för svårt att analysera denna inom Ma5. Jag tycker Tomas lösning är bra.

tomast80 skrev:
Det är enklare att jämföra talen om man först multiplicerar dem båda med talet $7$ :
$7A=3\cdot\sqrt[3]{2\cdot 7^3}=3\cdot \sqrt[3]{686}$
$3\sqrt[3]{729}=3\cdot \sqrt[3]{9^3}=3\cdot 9=27$
$7B=7+2\cdot \sqrt[3]{3\cdot 7^3}=7+2\cdot \sqrt[3]{1029}>$
$7+2\cdot \sqrt[3]{1000}=7+2\cdot \sqrt[3]{10^3}=7+2\cdot 10=27$
Sammanfattningsvis:
$7A<>$ och $7B>27\Rightarrow$
$A<>$ , d.v.s. alternativ (a) är rätt!

Det här är en bra lösning. Men det känns som att det är svårt att komma på att just multiplicera med 7. Det känns även svårt att hitta ett tal där man kan jämföra A med respektiv B som just i detta fall är 27. Men det får du genom att hitta det närmaste heltales kubiken (i detta fall 9 och 10) till talet innanför parantesen dvs. 686 och 1029? Och detta var då av slumpen eller var det planerad att summan skulle blir 27 och produkten också 27?

Finns det en metod som fungerar för att generellt jämföra 2 tal vid problem som liknar detta?