Jämför en cirkel med en kvadrat

Uppgift

"Jämför en cirkel med en kvadrat. Är det sant att cirkeln har störst area i förhållande till omkretsen?"

Facit härleder att en cirkel med omkretsen O = 2$\mathrm{\pi }$r har radien r = O / (2$\mathrm{\pi }$) och A = O² /(4$\mathrm{\pi }$). Jag kan dock inte komma underfund med hur facit har härlett att arean för cirkeln är lika med A = O² / (4$\mathrm{\pi }$). Först tänkte jag att de hade tagit r² och tagit hela uttrycket O / (2$\mathrm{\pi }$) i kvadrat, men då är kvadreringen av uttrycket inte korrekt i nämnaren eftersom (2$\mathrm{\pi }$⁾² inte är lika med 4$\mathrm{\pi }$ utan (2$\mathrm{\pi }$)² = (4$\mathrm{\pi }$2).

Kvadratens beräkning förstår jag mycket väl: En kvadrat med omkretsen O = 4s har sidan s = O/4 och arean = O² / 16, eftersom kvadrerar man en sida så är s² = A, och s² = (O / 4)² = O² / 16.

Men facit har rätt med båda uttrycken, för tar man en cirkel med omkretsen 100 cm, så är A = O² =/ (4$\mathrm{\pi }$) <== > A = 100² / (4$\mathrm{\pi }$) = 795,7747155 cm² och samma svar ger formeln för cirkelns area, A = ${\mathrm{\pi r}}^2$ = $\mathrm{\pi }$* 15,91549431² = 795,7747155 cm².

Skulle uppskatta om någon kunde förklara hur facit går från r = O / (2$\mathrm{\pi }$) till att A = O² /(4$\mathrm{\pi }$). Jag kan lösa ut radien från formeln för cirkelns omkrets, det vill säga O = 2$\mathrm{\pi }$r. Men att därifrån gå till att A = O² / (4$\mathrm{\pi }$), kan jag inte se sambandet, om det nu är det sambandet facit använder.