Jag har en svår mattefråga som jag har två olika lösningar på men jag vill veta om de är rätt.

Den första lösningen ser rätt ut. Lösning två är dock fel, eftersom man inte kan invertera (vända) bråket. Man skulle emellertid kunna göra så om det stod $\frac{1}{x}*\frac{1}{y}=\frac{5}{24}$. 

Vad gäller a/b = c/d = a*d = b*c, skulle jag nog inte kalla en formel. Den gäller eftersom:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff \frac{a}{b}*b*d=\frac{c}{d}*b*d\iff a*d=c*b$

Men hur ska jag räkna då? 

Har du exempel på beräkningar?

Ali Al Bayati skrev:

[...]

Jag hade två lösningar så här kommer den första: 

Lösning 1

1/x + 1/y = 5/24 

1/x + 1/y = x + y/xy = 5/24 vi vet att x + y = 20 så, 

x + y/xy = 20/xy = 5/24 

Här behöver du använda parenteser så att det syns vad som är täljare och vad som är nämnare. Skriv slltså (x+y)/(xy) istället för x+y/xy.

20/xy = 5/24 så vi dividerar 20 och 5 med 5 så att ekvationen blir så här, 

4/xy = 1/24 

jag använder mig av formeln a/b = c/d = a*d = b*c så nu sätter vi bara in siffrorna istället för variablerna, 

a*d = b*c = 4*24 = xy*1 = 96 = xy

så xy är lika med 96 

Ett enklare sätt är att utgå från 20/(xy) = 1/24 och multiplicera båda sidor först med xy, sedan med 24.

Du får då 20*24 = xy

Lösning 2

1/x + 1/y = 5/24 

xy = 24/5 * (x+y)

Hur kom du fram till det?

Visa alla steg i din uträkning.

[...]

Jag behöver hjälp för att se om jag har fått rätt, vad formeln a/b = c/d = a*d = b*c  heter eller hur den används, om jag har rätt svar och om det finns andra metoder. Jag är väldigt tacksam om jag får hjälp. 

Det finns ingen sådan formel.

Du kanske tänker på "korsvis multiplikation med nämnare", vilket du gör så här:

a/b = c/d

Multiplicera båda sidor med b:

a = bc/d

Multiplicera båda sidor med d:

ad = bc

Jag menade korsvis multiplikation men jag glömde vad det heter och jag visste inte hur jag skulle formulera det så jag skrev att det var en formel men tack för att du påminde mig och rättade till det :). Men jag förstår fortfarande inte hur jag ska lösa den här uppgiften, för att min lärare sa att den här lösningen är överkurs och att boken vill ha en annan lösning så hur löser man den här uppgiften. Jag behöver verkligen hjälp med det. 

Hej igen! 

Jag har sökt på nätet om hur man löser den här ekvationen och jag fick inget bra resultat av det men jag "lärde" mig hur man gör andragradsekvationer och så försökte jag lösa den här uppgiften så jag undrar om min lösning är rätt och jag undrar om man kan lösa uppgiften på ett annat sätt för det här känns som alldeles för överkurs för åk 9 och jag kan garantera att min lärare kommer säga att jag är galen som hittar alla olika lösningar på den här uppgiften förutom den som man ska hitta. 

Den här gången så ska jag försöka få veta vad y är och sen se vad x är. 

x + y = 20

x = 20 - y 

1/(20-y) + 1/y = 5/24 

1/(-y - 20) + 1/y = 5/24

(-y)/y(y-20) + (y-20)/y(y-20)

(-y) + y - 20/y(y - 20) = 5/24

-20/y(y - 20) = 5/24 

24y(y-20) * (-20)/y(y - 20) = 24y(y-20) * 5/24

24*(-20) = y(y-20)5

24*(-20) = 5y(y-20)

-480 = 5y² - 100y 

(-480) - (5y² - 100y) = 5y² - 100y - 5y² - 100y 

-480 - 5y² + 100y  = 0

-5y² + 100y - 480 = 0

Faktorisera 

-5(y² - 20y + 96) = 0

Mönster för summa och produkt i andragradsekvation tror jag. (ax² + bx + c) man ska leta reda på två tal som ska bli när de multipliceras lika med ac och när de adderas så blir de lika med b. Så faktorerna blir 12 och 8 eftersom 8*12 = 96 och 8+12 = 20. 

-5(y² - 8y - 12y + 96) = 0

-5((y² - 8y) + (-12y + 96) = 0

-5(y(y-8) -12(y-8)) = 0

-5(y-12)(y-8) = 0 

(-5(y-12)(y-8))/-5 = 0/-5

(y-12)(y-8) = 0

Så eftersom y -12 multiplicerat med y-8 blir 0 då innebär det att y är 12 och 8 

y = 12 

y = 8 

Så frågan är vad xy är så om vi vet att en av faktorerna alltså y är antigen 12 eller 8 då vet man att x är antigen 12 eller 8 den också så de riktiga svaren är: 

Svar 1 y = 12 x = 8 

Svar 2 y = 8 x = 12 

Snälla kan någon kolla om det här är rätt och kan någon berätta en enklare lösning på problemet.

Ali Al Bayati skrev:

[...]

så jag undrar om min lösning är rätt och jag undrar om man kan lösa uppgiften på ett annat sätt

[...]

x + y = 20

x = 20 - y 

1/(20-y) + 1/y = 5/24 

1/(-y - 20) + 1/y = 5/24

Det här steget stämmer inte.

Du kan inte skriva om 1/(20-y) som 1/(-y-20). Det är inte samma uttryck. Du menar antagligen 1/(-(y-20)), vilket stämmer.

(-y)/y(y-20) + (y-20)/y(y-20)

(-y) + y - 20/y(y - 20) = 5/24

Här glömmer du att skriva parenteser runt täljaren och nämnaren igen. Det borde stå (-y+y-20)/(y(y-20))

-20/y(y - 20) = 5/24 

24y(y-20) * (-20)/y(y - 20) = 24y(y-20) * 5/24

24*(-20) = y(y-20)5

24*(-20) = 5y(y-20)

-480 = 5y² - 100y 

(-480) - (5y² - 100y) = 5y² - 100y - 5y² - 100y 

-480 - 5y² + 100y  = 0

-5y² + 100y - 480 = 0

Faktorisera 

-5(y² - 20y + 96) = 0

Mönster för summa och produkt i andragradsekvation tror jag. (ax² + bx + c) man ska leta reda på två tal som ska bli när de multipliceras lika med ac och när de adderas så blir de lika med b.

Ja, det är nästan rätt. Det gäller att produkten av de två talen ska vara lika med c/a och summan av dem ska vara lika med -b/a.

Så faktorerna blir 12 och 8 eftersom 8*12 = 96 och 8+12 = 20. 

-5(y² - 8y - 12y + 96) = 0

-5((y² - 8y) + (-12y + 96) = 0

-5(y(y-8) -12(y-8)) = 0

-5(y-12)(y-8) = 0 

(-5(y-12)(y-8))/-5 = 0/-5

(y-12)(y-8) = 0

Så eftersom y -12 multiplicerat med y-8 blir 0 då innebär det att y är 12 och 8 

y = 12 

y = 8 

Så frågan är vad xy är så om vi vet att en av faktorerna alltså y är antigen 12 eller 8 då vet man att x är antigen 12 eller 8 den också så de riktiga svaren är: 

Svar 1 y = 12 x = 8 

Svar 2 y = 8 x = 12 

Snälla kan någon kolla om det här är rätt och kan någon berätta en enklare lösning på problemet.

Ja, det är rätt, men en alldeles för komplicerad lösning för grundskolan.

Det finns enklare metoder att lösa andrsgradsekvationer, men de lärs ut först på gymnasienivå.

=====

Du frågar efter andra lösningar som kan användas med kunskaper på grundskolenivå.

Ett förslag kan då vara att pröva sig fram.

Du vet att x och y är positiva heltal och att summan är 20.

Det ger dig endast följande möjligheter för x+y:

1+19

2+18

3+17

(osv fram till)

18+2

19+1

Det är alltså 19 möjliga val av x och y som uppfyller första villkoret.

Du ser även att ekvationen 1/x+1/y = 5/24 är symmetrisk med avseende på x och y, dvs du kan byta ut x mot y och y mot x och ekvationen ser ändå exakt likadan ut.

Det gör att du endast behöver undersöka 10 av de 19 möjliga valen av x och y.

(Detta eftersom om t.ex. 3+17 är ett giltigt val så är även 17+3 det.)

Du kan nu välja att pröva dessa 10 fall eller så kan du försöka begränsa antalet fall lite till, men här går vi kanske utanför grundskolenivå:

Vi kan se att eftersom 1/x+1/y = 5/24 så borde både x och y vara faktorer i 24. Detta pga att (x+y)/(x*y) = 5/24 och att x och y är heltal.

Om vi faktoriserar 24 så får vi 24 = 2*2*2*3.

Det innebär att x endast borde kunna ha värdena 1, 2, 4, 6, 8, 12 eller 24.

24 är för stort eftersom y då måste vara -4 och vi har tidigare sett att vi endast behöver pröva x-värden upp till och med 10.

Det ger oss följande möjliga x+y:

1+19, går bort eftersom 19 inte är en faktor I 24.

2+18, går bort eftersom 18 inte är en faktor I 24.

4+16, går bort eftersom 16 inte är en faktor I 24

6+14, går bort eftersom 14 nte är en faktor I 24

8+12, kan stämma eftersom både 8 och 12 är faktorer I 24.

Du kan nu pröva om x = 8 och y = 12 fungerar, vilket det gör.

Eftersom det är xy som efterfrågas behöver du inte beräkna x och y.

Men vad jag kan se är båda dina ursprungliga lösningar rätt.
Se vad Yngve skrev i #4. Fast Yngve verkar ha tappat bort täljaren 5.

Förutom att du som Yngve skrev måste använda parenteser skriver du långa rader där du sätter = hela vägen fast allt inte är lika eller du bör ha radbyte.

1/x + 1/y = 5/24

(x+y)/xy = 5/24

20/xy = 5/24      Multiplicera båda leden med 24xy (eller först med xy och sedan med 24)

20*24 = 5xy        Dividera båda leden med 5

xy = 4*24

xy = 96

Hur ser bokens lösning ut?

Louis skrev:

[...[

Se vad Yngve skrev i #4. Fast Yngve verkar ha tappat bort täljaren 5.

[...]

Slarvigt av mig. Tack för dina skarpa ögon Louis!

Louis skrev:

Hur ser bokens lösning ut?

I boken så står det att svaret är 96 och i parantes så står det (12*8) så jag antar att det innebär att faktorerna x och y är lika med 12 och 8. 

Se vad Yngve skrev i #4. Fast Yngve verkar ha tappat bort täljaren 5.

Vad menar ni???

Yngve skrev:

[...[

Ett enklare sätt är att utgå från 20/(xy) = 1/24 och multiplicera båda sidor först med xy, sedan med 24.

[...]

Här borde jag ha skrivit 20/(xy) = 5/24.

Oh! Jag är lite trött nu det är nog därför jag missade det. 

Men i alla fall tack så mycket Luis och Yngve för eran tid och svar, ni har hjälpt mig jätte jätte mycket. Jag har prov nästa vecka och jag vill vara fullt förbered men inte för förbered så jag vill hitta lösningar som passar frågorna så att jag förstår hur man ska göra. Tack för att ni båda påpekade det här med parenteser, (även min lärare säger att jag missar en massa parenteser) så nu vet jag att jag verkligen behöver vara bättre på att skriva paranteser. Men jag kan säga att jag blev glad att min andragradsekvationslösning "nästan är rätt" och att jag också förstog den korsvisa multiplikationen "nästan rätt". 

Men hörni tack så mycket, ni förstår inte hur mycket ni har hjälpt mig. Tusen tack!!!

God natt. 

Förlåt att jag stava ditt namn fel Louis. 

Ingen fara! Så boken har ingen lösning, bara svaret?

Ett tips för din lösning av andragradsekvationen i #6:

Redan efter raden Faktorisera kan du stryka -5 (dela båda leden med -5),
det som du sedan gör fem rader längre ned.

Sedan på samma rad står svaret, 96, sist i parentesen.
Fast det är som sagt gymnasiematte.

Edit: Så är det, fast det var förhastat av mig att skriva på det sättet.
Det är y₁*y₂ som är 96 (gymnasiematte!) och y₁*y₂ är lika med ursprungliga xy,
vilket kräver sin förklaring.
Nu rör jag till det och det finns inte anledning att göra annorlunda än som du gjorde först.
Fast det kan skrivas lite annorlunda.

Det har du helt rätt i men det är fortfarande gymnasiematte, oh jag kan inte vänta till gymnasiet det är så mycket jag vill göra och se där. Men tack för tipset. :)