Jag förstår ej formeln för beräkning av en funktions area runt x eller y axeln.

Alla hemsidor jag har kollat på tar för självklart utan att visa varför arean av en funktion som roterar kring x-axeln är $2 π \int_{a}^{b} y \times d s = A$ där a<b, y är kontinuerlig mellan a och b och $\sqrt{1 + (\frac{d x}{d y})^{2}} d y = d s$ . Kan någon bevisa att formeln ovan stämmer. Det som förvirrar mig mest är multiplikationen med ds, jag förstår logiken bakom varför man gör det men jag skulle ändå vilja ha ett bevis för det.

Tråden flyttad från matematik/bevis till Ma5, eftersom forumdelen Bevis endast är till för färdiga bevis och inte sådant man behöver hjälp med. /Smaragdalena, moderator

Om du tar en funktion och roterar den runt x-axeln, så får du en form som kan vara väldigt komplicerad, men om du skivar den vinkelrätt mot x-axeln, så kommer alla skivor att vara cirklar med varierande radie - är du med på det?

Smaragdalena skrev :
Om du tar en funktion och roterar den runt x-axeln, så får du en form som kan vara väldigt komplicerad, men om du skivar den vinkelrätt mot x-axeln, så kommer alla skivor att vara cirklar med varierande radie - är du med på det?

Om du väljer ett värde x, var som helst mellan a och b, hur stor är då radien i den skivan?

Smaragdalena skrev :
Om du väljer ett värde x, var som helst mellan a och b, hur stor är då radien i den skivan?

Johanspeed skrev :
Smaragdalena skrev :
Om du väljer ett värde x, var som helst mellan a och b, hur stor är då radien i den skivan?
y

Ja det stämmer. Hur stor är skivans area?

Yngve skrev :
Johanspeed skrev :
Smaragdalena skrev :
Om du väljer ett värde x, var som helst mellan a och b, hur stor är då radien i den skivan?
y
Ja det stämmer. Hur stor är skivans area?

Skivans area: $2 π y^{2} + 2 y π \cdot d s$

Nej. Hur stor är cirkelns area om radien är y?

Smaragdalena skrev :
Nej. Hur stor är cirkelns area om radien är y?

Cirkelns area: $π y^{2}$

Det stämmer. Man kan tänka sig att integralen är uppbyggd av en massa tunna skivor, där varje skiva har arean $\pi y^2$ , eller hur?

Smaragdalena skrev :
Det stämmer. Man kan tänka sig att integralen är uppbyggd av en massa tunna skivor, där varje skiva har arean $\pi y^2$ , eller hur?

Oj, nu läste jag trådstarten mer noggrannt och såg att det handlade om arean av ett rotationssymmetriskt föremål, inte volymen som jag slarvigt trodde. Då ha rjag varit ute och cyklat på djupt vatten ett tag, om det är tillåtet att blanda liknelserna, och nu börjar min hjärna gå i viloläge för idag. Ursäkta att jag skrivit dumheter, som inte var relevanta.

Hej!

Den lilla remsa som bildas är ungefär lika med mantelytan hos en cylinder som har radien $y(x)$ och höjden $ds,$ där Pythagoras sats ger sambandet

$(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2.$

Den lilla mantelytan kan därför skrivas

$2\pi y(x) \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} \cdot dx$ .

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
Den lilla remsa som bildas är ungefär lika med mantelytan hos en cylinder som har radien $y(x)$ och höjden $ds,$ där Pythagoras sats ger sambandet
$(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2.$
Den lilla mantelytan kan därför skrivas
$2\pi y(x) \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} \cdot dx$ .
Albiki

Hej!

Jag förstår hur du kommer fram till uttrycket för mantelarean av en cylinder som har radien y(x) och höjden ds. Det jag inte förstår är varför $2 π y (x) d s$ är mantelarean för en stympad kon eftersom radien varierar längs x-axeln. Min tråd kanske var dåligt formulerad men kan någon med andra ord bevisa att mantelarean av en stympad kon är lika med $s π (r_{1} + r_{2})$ .

Johan

Hej!

Eftersom $dx$ är så litet så bortser jag från att det är en stympad kon och ser det istället som en rak cirkulär cylinder.

Albiki

Svara

Visa senaste svar