Jag fattar inte lådprincipen
Jag fattar inte lådprincipen i sådana här situationer. Liksom varför står det att "eftersom 1 510 000 > 500 000 × 3 + 1 så säger lådprincipen att åtminstone en låda innehåller minst 3+1 föremål"Vad menar dem med olikhetssymbolen i detta fall? Dessutom fattar jag inte vad som menas med att en åtminstone en låda innehåller minst 4 föremål. Är det inte att åtminstone en låda innehåller minst 3 föremål då det är ju 3 styckna per låda.
Jag är bara väldigt förvirrad då detta med kombinatorik är helt nytt för mig.Tack i förhand.
Tänk dig att det finns 500 000 personer. Finns det en chans att ingen har lika många hårstrån?
Ja, eftersom att person 1 kan ha 0 hårstrån, person 2, 1 hårstrå, ... osv upp till person 500 som har 499 hårstrån.
Om vi nu betraktar en till person, kan de 500 001 personerna har olika många hårstrån?
Nej, eftersom att den sist tillagda personen måste ha 0, 1, 2, ...., eller 499 999 antal håstrån. Och därmed ha lika många som någon annan.
Nu är det bara att utvidga detta argument.
Men vad menar dem med att minst 4 stockholmare har samma antal hårstrån? Efter att ha fördelat 1 500 000 personer med 3 personer per låda blir det ju 10 000 personer kvar. Jag fattar inte hur det är minst 4 personer med samma antal hårstrån. Kan det inte vara 3 personer?
Vi kan ta ett enklare exempel för att visa hur principen fungerar.
Vi säger att vi ska fördela 8 bollar mellan 3 hinkar.
Vi vill nu visa att, oavsett hur vi fördelar bollarna, så kommer åtminstone en av hinkarna att innehålla fler än 2 bollar.
Vi kan lägga alla 8 bollarna i samma hink, dvs att hinkarna innehåller 0, 0 och 8 bollar.
I detta fallet är det redan klart att minst en av hinkarna innehåller fler än 2 bollar.
En annan fördelning kan vara 0, 4 och 4 bollar. Även här har vi situationen att minst en av hinkarna innehåller fler än 2 bollar.
Nu försöker vi fördela bollarna så att ingen hink innehåller fler än 2 bollar. Vi tänker då att vi ska fördela bollarna så jämnt som möjligt, dvs att vi försöker lägga så få bollar som möjligt i varje hink.
Vi börjar då med att lägga 2 bollar i varje hink. Vi får sedan två bollar över som vi måste lägga i någon/några av hinkarna. Hinkarna kommer då att innehålla 2, 3 och 3 bollar (eller 2, 2 och 4 bollar).
Även här ser vi att att minst en av hinkarna innehåller fler än 2 bollar.
Eftersom antalet bollar är större än 2 gånger antalet hinkar (dvs 8 > 2*3) så kommer minst 1 hink alltid att innehålla fler än 2 bollar.
Du kan läsa mer om lådprincipen med exempel här.
Yngve skrev:Vi kan ta ett enklare exempel för att visa hur principen fungerar.
Vi säger att vi ska fördela 8 bollar mellan 3 hinkar.
Vi vill nu visa att, oavsett hur vi fördelar bollarna, så kommer åtminstone en av hinkarna att innehålla fler än 2 bollar.
Vi kan lägga alla 8 bollarna i samma hink, dvs att hinkarna innehåller 0, 0 och 8 bollar.
I detta fallet är det redan klart att minst en av hinkarna innehåller fler än 2 bollar.
En annan fördelning kan vara 0, 4 och 4 bollar. Även här har vi situationen att minst en av hinkarna innehåller fler än 2 bollar.
Nu försöker vi fördela bollarna så att ingen hink innehåller fler än 2 bollar. Vi tänker då att vi ska fördela bollarna så jämnt som möjligt, dvs att vi försöker lägga så få bollar som möjligt i varje hink.
Vi börjar då med att lägga 2 bollar i varje hink. Vi får sedan två bollar över som vi måste lägga i någon/några av hinkarna. Hinkarna kommer då att innehålla 2, 3 och 3 bollar (eller 2, 2 och 4 bollar).
Även här ser vi att att minst en av hinkarna innehåller fler än 2 bollar.
Eftersom antalet bollar är större än 2 gånger antalet hinkar (dvs 8 > 2*3) så kommer minst 1 hink alltid att innehålla fler än 2 bollar.
Du kan läsa mer om lådprincipen med exempel här.
Så det är helt säkert att en hink kommer innehålla mer än 2 bollar oavsett hur man fördelar, men inte säkert att en hink kommer innehålla mindre än det.
Hur finns det säkert finns minst 4 stockholmare i en låda (samma antal hårstrån) men det är ju säkert minst 3 personer som har samma antal hårstrån när man fördelar jämt eller det är inte säkert?
Precis som hinkarna kunde ha 2, 2 och 4 bollar, kan det väl finnas hinkar med exakt 2 bollar? Jag undrar hur man är säker på den ena men inte den andra. Definitionen av "minst" i sådana här uppgifter förvirrar mig. Menar man "i lådan" eller "i varje låda som finns"? I mitt fall är låda lika med antal hårstrån. Det är ju som att säga i din uppgift att det finns minst 3 bollar i en hink men det är ju minst 0 i en kombination!
Min fråga är lite överdrivet specifik men tack för svar.
Studenten06 skrev:
Så det är helt säkert att en hink kommer innehålla mer än 2 bollar oavsett hur man fördelar, men inte säkert att en hink kommer innehålla mindre än det.
Det stämmer.
Hur finns det säkert finns minst 4 stockholmare i en låda (samma antal hårstrån) men det är ju säkert minst 3 personer som har samma antal hårstrån när man fördelar jämt eller det är inte säkert?
"Minst 4" innebär automatiskt "minst 3".
Precis som hinkarna kunde ha 2, 2 och 4 bollar, kan det väl finnas hinkar med exakt 2 bollar?
Javisst kan det vara så, men alla hinkar kan inte innehålla exakt 2 bollar eftersom vi då får 2 bollar "över".
Jag undrar hur man är säker på den ena men inte den andra. Definitionen av "minst" i sådana här uppgifter förvirrar mig. Menar man "i lådan" eller "i varje låda som finns"? I mitt fall är låda lika med antal hårstrån. Det är ju som att säga i din uppgift att det finns minst 3 bollar i en hink men det är ju minst 0 i en kombination!
Om begreppet "minst". Vi kan formulera det på följande sätt istället:
Man är säker på att det finns minst en hink som innehåller fler än 2 bollar.
Det kan alltså vara 1 eller 2 hinkar som innehåller fler än 2 bollar.
- Om fördelningen är så jämn som möjligt (dvs 2, 3, 3) så är det 2 hinkar som har fler än 2 bollar.
- Alla andra fördelningar (t ex. 2. 2, 4 eller 0, 3, 5 eller ...) ger 1 hink som har fler än 2 bollar.
Yngve skrev:Studenten06 skrev:Så det är helt säkert att en hink kommer innehålla mer än 2 bollar oavsett hur man fördelar, men inte säkert att en hink kommer innehålla mindre än det.
Det stämmer.
Hur finns det säkert finns minst 4 stockholmare i en låda (samma antal hårstrån) men det är ju säkert minst 3 personer som har samma antal hårstrån när man fördelar jämt eller det är inte säkert?
"Minst 4" innebär automatiskt "minst 3".
Precis som hinkarna kunde ha 2, 2 och 4 bollar, kan det väl finnas hinkar med exakt 2 bollar?
Javisst kan det vara så, men alla hinkar kan inte innehålla exakt 2 bollar eftersom vi då får 2 bollar "över".
Jag undrar hur man är säker på den ena men inte den andra. Definitionen av "minst" i sådana här uppgifter förvirrar mig. Menar man "i lådan" eller "i varje låda som finns"? I mitt fall är låda lika med antal hårstrån. Det är ju som att säga i din uppgift att det finns minst 3 bollar i en hink men det är ju minst 0 i en kombination!
Om begreppet "minst". Vi kan formulera det på följande sätt istället:
Man är säker på att det finns minst en hink som innehåller fler än 2 bollar.
Det kan alltså vara 1 eller 2 hinkar som innehåller fler än 2 bollar.
- Om fördelningen är så jämn som möjligt (dvs 2, 3, 3) så är det 2 hinkar som har fler än 2 bollar.
- Alla andra fördelningar (t ex. 2. 2, 4 eller 0, 3, 5 eller ...) ger 1 hink som har fler än 2 bollar.
Hur betyder minst 4 automatiskt minst 3?
Om det finns 1 500 000 stockholmare och de fördelas så jämnt som möjligt, så kan det vara precis 3 stockholmare i varje låda. Om det är en enda stockholmare till, så måste det vara minst 4 stockholmare i minst en av lådorna (och nu är det inte bara en, utan 10 000 extra stockholmare). Vi kan inte vara säkra på att det finns exakt 4 stockholmare i någon låda, men det är inte detta man frågar efter, utan i åtminstone en låda finns det fyra stockholmare eller fler. Om det kommer en plötslig smittsam sjukdom som gör att alla stockholmare blir flintskalliga, skulle alla stockholmare hamna i samma låda, den med 0 hårstrån - och det uppfyller kravet "åtminstone 4 av dessa invånare har exakt samma antal hårstrån".
Smaragdalena skrev:Om det finns 1 500 000 stockholmare och de fördelas så jämnt som möjligt, så kan det vara precis 3 stockholmare i varje låda. Om det är en enda stockholmare till, så måste det vara minst 4 stockholmare i minst en av lådorna (och nu är det inte bara en, utan 10 000 extra stockholmare). Vi kan inte vara säkra på att det finns exakt 4 stockholmare i någon låda, men det är inte detta man frågar efter, utan i åtminstone en låda finns det fyra stockholmare eller fler. Om det kommer en plötslig smittsam sjukdom som gör att alla stockholmare blir flintskalliga, skulle alla stockholmare hamna i samma låda, den med 0 hårstrån - och det uppfyller kravet "åtminstone 4 av dessa invånare har exakt samma antal hårstrån".
Jag fattar precis vad du menar nu men jag tänker att sista meningen på boken får det verka som att det inte kan vara 3 eller 2 personer i samma låda och att det endast finns 4 och högre. Jag tror att ordet minst förvirrar mig, jag tänker att 3 är ju mindre än 4 och så.
Studenten06 skrev:Hur betyder minst 4 automatiskt minst 3?
Är du med på att om x > 4 så gäller det även att x > 3?
Om inte så tar vi några exempel.
- x = 10 är större än 4, det är även större än 3.
- x = 5 är större än 4, det är även större än 3.
- x = 4,1 är större än 4, det är även större än 3.
Alla tal som är större än 4 är alltså även större än 3.
Yngve skrev:Studenten06 skrev:Hur betyder minst 4 automatiskt minst 3?
Är du med på att om x > 4 så gäller det även att x > 3?
Om inte så tar vi några exempel.
- x = 10 är större än 4, det är även större än 3.
- x = 5 är större än 4, det är även större än 3.
- x = 4,1 är större än 4, det är värn större än 3.
Alla tal som är större än 4 är alltså även större än 3.
Ok då fattade jag. Tack för din tid.
Studenten06 skrev:Smaragdalena skrev:Om det finns 1 500 000 stockholmare och de fördelas så jämnt som möjligt, så kan det vara precis 3 stockholmare i varje låda. Om det är en enda stockholmare till, så måste det vara minst 4 stockholmare i minst en av lådorna (och nu är det inte bara en, utan 10 000 extra stockholmare). Vi kan inte vara säkra på att det finns exakt 4 stockholmare i någon låda, men det är inte detta man frågar efter, utan i åtminstone en låda finns det fyra stockholmare eller fler. Om det kommer en plötslig smittsam sjukdom som gör att alla stockholmare blir flintskalliga, skulle alla stockholmare hamna i samma låda, den med 0 hårstrån - och det uppfyller kravet "åtminstone 4 av dessa invånare har exakt samma antal hårstrån".
Jag fattar precis vad du menar nu men jag tänker att sista meningen på boken får det verka som att det inte kan vara 3 eller 2 personer i samma låda och att det endast finns 4 och högre. Jag tror att ordet minst förvirrar mig, jag tänker att 3 är ju mindre än 4 och så.
Vi använder Yngves exempel för att göra situationen lite lättare.
Jag tror att du tänker på formuleringen "Vad är det minsta antalet bollar som någon låda kan ha?". Detta är uppenbarligen 0. Oavsett hur många bollar vi har (vi kan ha 1 triljon bollar) kommer de kunna läggas i samma låda vilket gör att det minsta antalet bollar någon låda har är 0 (förutsatt att vi har minst 2 lådor).
I detta problem blir påståendet "visa att minst 2 av dessa bollar ligger i samma låda". Detta kan översättas till "Vad är det minsta antalet bollar som lådan med flest bollar kan ha?" Om vi nu skulle lägga alla bollar i samma låda blir detta antal det totala antalet bollar. Istället vill vi fördela bollarna jämt för att den låda med flest bollar ska ha så få bollar som möjligt.
Calle_K skrev:Studenten06 skrev:Smaragdalena skrev:Om det finns 1 500 000 stockholmare och de fördelas så jämnt som möjligt, så kan det vara precis 3 stockholmare i varje låda. Om det är en enda stockholmare till, så måste det vara minst 4 stockholmare i minst en av lådorna (och nu är det inte bara en, utan 10 000 extra stockholmare). Vi kan inte vara säkra på att det finns exakt 4 stockholmare i någon låda, men det är inte detta man frågar efter, utan i åtminstone en låda finns det fyra stockholmare eller fler. Om det kommer en plötslig smittsam sjukdom som gör att alla stockholmare blir flintskalliga, skulle alla stockholmare hamna i samma låda, den med 0 hårstrån - och det uppfyller kravet "åtminstone 4 av dessa invånare har exakt samma antal hårstrån".
Jag fattar precis vad du menar nu men jag tänker att sista meningen på boken får det verka som att det inte kan vara 3 eller 2 personer i samma låda och att det endast finns 4 och högre. Jag tror att ordet minst förvirrar mig, jag tänker att 3 är ju mindre än 4 och så.
Vi använder Yngves exempel för att göra situationen lite lättare.
Jag tror att du tänker på formuleringen "Vad är det minsta antalet bollar som någon låda kan ha?". Detta är uppenbarligen 0. Oavsett hur många bollar vi har (vi kan ha 1 triljon bollar) kommer de kunna läggas i samma låda vilket gör att det minsta antalet bollar någon låda har är 0 (förutsatt att vi har minst 2 lådor).
I detta problem blir påståendet "visa att minst 2 av dessa bollar ligger i samma låda". Detta kan översättas till "Vad är det minsta antalet bollar som lådan med flest bollar kan ha?" Om vi nu skulle lägga alla bollar i samma låda blir detta antal det totala antalet bollar. Istället vill vi fördela bollarna jämt för att den låda med flest bollar ska ha så få bollar som möjligt.
Precis! Men menade du inte 3 istället för 2? Annars förstod jag.
Tillägg: 4 jul 2024 15:11
Det var att bevisa att fler än 2 vilket är ju minst 3.
