Jag får inte fram det andra svaret
Hej, jag har försökt att hitta den andra lösningen men hur jag än gör får jag bara fram t=4. I ledtråden stod det där sin x=0. Då får jag ut och enda sättet för att
bli det är om t=4. Hur får jag fram att t=16?
Sedan på b) ska jag lösa den grafiskt eller algebraiskt? Jag försökte lösa det algebraiskt men alla mina svar som stämmer överens med facit finns i maximipunkterna och i ledtråden skriver de att jag ska hitta minipunkterna. Vad har jag gjort fel om detta är min funktion?
a) sin[pi(t–1)/6] varierar mellan +1 och –1. Vattnet är som djupast när vattenytan är som högst, dvs när sin[…] = +1. Det betyder att argumentet pi(t–1)/6 = pi/2 + n2pi.
Multiplicera båda led med 6:
pi(t–1) = 3pi + n 12pi
Dividera med pi:
t–1 = 3+12n
t = 4 + 12n
Vattnet är djupast kl 4 och kl 16. Då är djupet d(4) = d(16) = 2+ 0,6*1 = 2,6 meter
b) Vattenytans förändringshastighet är derivatan av nivån.
Derivera
d’(t) = 0,6 cos[pi(t–1)/6] * pi/6
= 0,1 pi cos [pi(t–1)/6)
Förändringshastigheten har maximum betyder att derivatan är 0. Derivera igen:
d’’(t) = – 0,1 pi sin[pi(t–1)/6] *pi/6
= – 1/60 (pi)2 sin[…] . Detta är noll när argumentet är n*pi, dvs
pi(t–1)/6 = n pi
t–1 = 6n
t = 1 + 6n dvs när t = 1, t = 7, t = 13, t = 19
teckenschema:
t 1 7 13 19 1
d’’ + 0 – 0 + 0 – 0 + 0
d’ väx max avt min väx max avt min väx
Vattenytan stiger snabbast kl 1 och kl 13. Då är hastigheten
d’(1) = d’(13) = 0,1 pi cos (0+n*2pi) = 0,1 pi ≈ 71/226 m/h
Marilyn skrev:Förändringshastigheten har maximum betyder att derivatan är 0. Derivera igen:
d’’(t) = – 0,1 pi sin[pi(t–1)/6] *pi/6
= – 1/60 (pi)2 sin[…] . Detta är noll när argumentet är n*pi, dvs
pi(t–1)/6 = n pi
t–1 = 6n
t = 1 + 6n dvs när t = 1, t = 7, t = 13, t = 19
teckenschema:
t 1 7 13 19 1
d’’ + 0 – 0 + 0 – 0 + 0
d’ väx max avt min väx max avt min väx
Vattenytan stiger snabbast kl 1 och kl 13. Då är hastigheten
d’(1) = d’(13) = 0,1 pi cos (0+n*2pi) = 0,1 pi ≈ 71/226 m/h
Jag förstår ända fram dit men vad händer med -pi²/60? Sedan förstår jag inte riktigt vad derivatan och andraderivatan i denna uppgift betyder.
–(pi)2/60 , det enda som spelar roll är minustecknet. Vi vill veta var nollställena ligger och då kan konstanten (pi)2/60 vara ett eller tusen, oväsentligt. Men minustecknet avgör om det går från plus till minus eller tvärtom.
Du har d(t), den funktionen talar om hur djupt det är.
Sedan d’(t), derivatan talar om med vilken hastighet djupet ökar eller minskar.
När den hastigheten är som allra störst har d’ maximum och då är d’:s derivata noll. Alltså d’’ har teckenväxling + 0 –.
En annan fråga. Det största värdet på sinusfunktionen är 1 och minsta -1. Men det största värdet på funktionen d(t) är 2,6 och det minsta 1,4?
Ja sin v pendlar mellan +1 och –1.
0,6 sin v pendlar mellan +0,6 och –0,6.
2+ 0,6 sin v pendlar mellan 2,6 och 1,4.
Ovanstående gäller även om v ersätts med 100v eller 0,1 v.
