Jag Behöver en logisk förklaring, till hur man förenklar stora primtal/sammansattatal.

Det finns vissa delbarhetsregler man kan använda. Bland annat:

• Om sista siffran är 0 så är talet delbart med 10 och alltså inte ett primtal.
• Om sista siffran är 5 så är talet delbart med 5 och alltså inte ett primtal.
• Om sista siffran är ett jämnt tal så är talet delbart med 2 och alltså inte ett primtal.
• Om talets siffersumma är delbar med 3 så är talet delbart med 3 och alltså inte ett primtal.

När man snabbt testat Yngves regler, så återstår bara att prova att dividera med primtal  från 3 och uppåt. 5 kan man skippa eftersom det täcks av tidigare test. 

Om talet är sammansatt kommer det att gå jämnt ut (utan rest). I fallet 327 hittar man omedelbart att det är 3 x 109. Klart! 327 är alltså sammansatt. 

Vi kan ta 109 som ett andra exempel. Primtal eller sammansatt? Yngves regler avslöjar inget. Då får vi börja dividera med 3; 7; … Dock behöver vi inte testa med fler tal än så för att konstatera att 109 är ett primtal. Kan du klura ut varför?

Välkommen till PA förresten!

Du ska bilda siffersumman för att se om talet går att dela med 3 eller 9, enligt vad Yngve skriver. Men du ska inte försöka dela talet med siffersumman, det ger inget. Det är om siffersumman är delbar med 3 som talet också är det.

Laguna skrev:

Du ska bilda siffersumman för att se om talet går att dela med 3 eller 9, enligt vad Yngve skriver. Men du ska inte försöka dela talet med siffersumman, det ger inget. Det är om siffersumman är delbar med 3 som talet också är det.

hmm så om jag förstår dig rätt här. tar ett, random nummer nu här. 4362
4+3+6+2=15.
15 går ju att dela på 3, det betyder at 4362 är ett sammansatt tal?.

matematiker1337 skrev:

Laguna skrev:

Du ska bilda siffersumman för att se om talet går att dela med 3 eller 9, enligt vad Yngve skriver. Men du ska inte försöka dela talet med siffersumman, det ger inget. Det är om siffersumman är delbar med 3 som talet också är det.

hmm så om jag förstår dig rätt här. tar ett, random nummer nu här. 4362
4+3+6+2=15.
15 går ju att dela på 3, det betyder at 4362 är ett sammansatt tal?.

Ja, det stämmer - detta betyder att talet är delbart med tre.

Med det sagt, detta hittar bara tal delbara med tre. Ett tal vara sammansatt även om siffersumman inte är delbar med tre. Exempel: 25. Siffersumman är $2+5=7$, som ej är delbar med tre. Men! 25 kan skrivas som $5\cdot5$, och är därför ett sammansatt tal. 

Smutstvätt skrev:

matematiker1337 skrev:

Visa föregående citat

Laguna skrev:

Du ska bilda siffersumman för att se om talet går att dela med 3 eller 9, enligt vad Yngve skriver. Men du ska inte försöka dela talet med siffersumman, det ger inget. Det är om siffersumman är delbar med 3 som talet också är det.

hmm så om jag förstår dig rätt här. tar ett, random nummer nu här. 4362
4+3+6+2=15.
15 går ju att dela på 3, det betyder at 4362 är ett sammansatt tal?.

Ja, det stämmer - detta betyder att talet är delbart med tre.

Med det sagt, detta hittar bara tal delbara med tre. Ett tal vara sammansatt även om siffersumman inte är delbar med tre. Exempel: 25. Siffersumman är $2+5=7$, som ej är delbar med tre. Men! 25 kan skrivas som $5\cdot5$, och är därför ett sammansatt tal. 

okej tack för svar så... oavsätt hur Långt ett tal än är, så kommer jag kunna använda mig utav siffersumman av talet, för att kunna förenkla upp talet och se vad som går att dela med det?
hmm tar ett till exempel här nu, 234345
2+3+4+3+4+5=21
21 går att dela i 3 * 7 = 21
så detta är ett, tal som är delbar med 3.

Eller HMM.. vänta lite här nu... Talet 19 är ju
1+9 som siffersumma.
1+9 = 10
10 går ju att dela med 2, då blir det 5.
fast 5 går inte dela till ett jämnt tal, längre vilket betyder att talet 19 är ett primtal.
Förstår jag den här biten rätt?

matematiker1337 skrev:

Eller HMM.. vänta lite här nu... Talet 19 är ju
1+9 som siffersumma.
1+9 = 10
10 går ju att dela med 2, då blir det 5.
fast 5 går inte dela till ett jämnt tal, längre vilket betyder att talet 19 är ett primtal.
Förstår jag den här biten rätt?

Nej, siffersumman är enbart användbar för att kontrollera om något är jämnt delbart med 3. Du kan inte använda den metoden för något annat.

Kort sammanfattning:

Primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13 och så vidare. 

Du ser snabbt om ett tal är delbart med 2: Är slutsiffran jämn? (dvs 0, 2, 4, 6 eller 8)

Du ser snabbt om ett tal är delbart med 3: Är siffersumman delbar med3? 

Du ser snabbt om ett tal är delbart med 5: Är slutsiffran 0 eller5?

För övriga primtal finns inte enkla regler. 

Vill lägga regler för två till primtal som är lite mer komplicerade men fortfarande relativt enkla. 

För 11 är det samma sak som för 3 men istället så är summan alternerande (första talet adderar man, andra talet subtraherar man). Ett exempel är 5291. Då tar vi 5-2+9-1 = 11. 11 är delbart med 11 och då är 5291 delbart med 11. (Om summan blir exempelvis 0 eller -11 så är talet fortfarande delbar med 11. Man kan dela både 0 och -11 med 11)

7 är lite mer komplicerad. Man tar bort den sista siffran i talet man vill kolla. Sedan tar man det nya talet man fått och subtraherar 2 * siffran man tog bort. Om det nya talet man får är delbar med 7 så är det ursprungliga talet delbar med 7.

Exempel: 112. Då tar vi bort den sista siffran, 2, och får 11. Sedan subtraherar siffran vi tog bort * 2. Alltså $11-2\cdot 2=7$. 7 är delbar med 7 och då är 112 delbar med 7. 
Exempel 227: Då får vi $22 - 7 \cdot 2 = 22 - 14 = 8$. Alltså är 227 inte delbar med 7 

Det som är kul med denna regel är att man kan upprepa den flera gånger. Om vi exempelvis vill kolla talet 2023: 
Då tar vi bort 3 och får 202. Subtrahera $2\cdot3$
202-6 = 196. Nu kan vi använda regeln igen
Ta bort 6 och subtrahera $2 \cdot 6$
19 - 12 = 7 
Då vet vi att 196 är delbar med 7 och då vet vi att 2023 är delbar med 7. 
(En liten utmaning till de som har läst denna tråd att bevisa denna regel! (finns liknande för 13, 17, 19, 23, etc))

På gymnasienivå kommer du i praktiken att klara dig utmärkt med att använda de delbarhetsregler jag beskrev i svar #2.

Om ingen regel fungerar så kan du pröva med att dividera med alla primtal från 7 och uppåt ända upp till roten ur det tal du undersöker.

Kan du komma på varför det räcker med dessa?

Yngve skrev:

På gymnasienivå kommer du i praktiken att klara dig utmärkt med att använda de delbarhetsregler jag beskrev i svar #2.

Om ingen regel fungerar så kan du pröva med att dividera med alla primtal från 7 och uppåt ända upp till roten ur det tal du undersöker.

Kan du komma på varför det räcker med dessa?

det står still i huvudet :(.
är det för att 2,3,5,7,11 är tillräckligt för att kunna bevisa om ett tal blir jämnt eller udda?

matematiker1337 skrev:

det står still i huvudet :(.

är det för att 2,3,5,7,11 är tillräckligt för att kunna bevisa om ett tal blir jämnt eller udda?

Nej det här har inget med jämna/udda tal att göra. Ett jämnt tal är ett tal som är jämnt delbart med 2. Dess slutsiffra är antingen 0, 2, 4, 6 eller 8. Ett udda tal slutar antingen på 1, 3, 5, 7 eller 9.

Istället är det så här:

Säg att du vill leta efter heltalsfaktorer i talet $M$ och att delbarhetsreglerna för 2, 3 och 5 inte gick att använda.

Då är det ingen idé att pröva om $M$ är delbart med något av dessa tal.

Därför bör du börja med att pröva om $M$ är delbart med 7.

Om det nu finns faktorer $x$ och $y$ sådana att $M=x\cdot y$ så gäller att om $x > \sqrt{M}$ så måste $y\leq\sqrt{M}$.

Då skulle du ha hittat $y$ på vägen upp från 7 och det är alltså ingen idé att ptöva med $x$.