Jag älskar trigonometriska ettan! (Matematik/Allmänna diskussioner)

"Älskar" signalerar väl lite väl starka känslor men det är ett häftigt samband som är till stor hjälp för att visa eller härleda andra trigonometriska identiteter eller genomföra trigonometriska uträkningar.

Jag skulle nog snarare säga enhetscirkeln är trigonometriska ettan, men det är ju nästan samma sak!

Jag skulle säga att trigonometriska ettan, pythagoras sats och avståndsformeln är samma sak.

Yngve skrev:
Jag skulle säga att trigonometriska ettan, pythagoras sats och avståndsformeln är samma sak.

Samma sak rent matematiskt, ja men de är olika representationer. De ser olika ut rent algebraiskt och illustrativt samt tillämpas i delvis olika sammanhang. Jag tycker inte det är oviktiga skillnader som gör att alla har sina egna små liv, även om det är nyttigt att förstå hur de relaterar till varandra.

Jonto skrev:

Samma sak rent matematiskt, ja men de är olika representationer. De ser olika ut rent algebraiskt och illustrativt samt tillämpas i delvis olika sammanhang. Jag tycker inte det är oviktiga skillnader som gör att alla har sina egna små liv, även om det är nyttigt att förstå hur de relaterar till varandra.

Ja, jag överdrev när jag skrev "samma sak".

Men det är häftigt när eleverna får en aha-upplevelse, inser kopplingen och inser att det inte är lika många saker att memorera!

Yngve skrev:
Jonto skrev:
Samma sak rent matematiskt, ja men de är olika representationer. De ser olika ut rent algebraiskt och illustrativt samt tillämpas i delvis olika sammanhang. Jag tycker inte det är oviktiga skillnader som gör att alla har sina egna små liv, även om det är nyttigt att förstå hur de relaterar till varandra.
Ja, jag överdrev när jag skrev "samma sak".
Men det är häftigt när eleverna får en aha-upplevelse, inser kopplingen och inser att det inte är lika många saker att memorera!

Ja, jag förstod nästan det. Precis! :)

Kan man härleda trigonometriska ettan utan pythagoras sats?

Definiera funktionen $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$ där $x\in\mathbb{R}.$ Funktionens derivata är lika med noll överallt, vilket indikerar att funktionen är konstant vilket betyder att $f(x) = f(0)$ för alla $x\in\mathbb{R}.$ Men $f(0) = 1.$

Va på riktigt? Va intressant

$\frac{df}{dx}=2\sin x\cdot \cos x + 2\cos x\cdot (-\sin x)=0$

Albiki skrev:
Definiera funktionen $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$ där $x\in\mathbb{R}.$ Funktionens derivata är lika med noll överallt, vilket indikerar att funktionen är konstant vilket betyder att $f(x) = f(0)$ för alla $x\in\mathbb{R}.$ Men $f(0) = 1.$

Hur har du definierat sin(x) respektive cos(x)? Om du har gjort det med hjälp av rätvinkliga trianglar, så är vi tillbaka hos gamle Pythagoras i alla fall.

Albiki skrev:
Definiera funktionen $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$ där $x\in\mathbb{R}.$ Funktionens derivata är lika med noll överallt, vilket indikerar att funktionen är konstant vilket betyder att $f(x) = f(0)$ för alla $x\in\mathbb{R}.$ Men $f(0) = 1.$

I sak håller jag med, men egentligen måste man väl också försäkra sig om att derivatan existerar över hela intervallet. Jag tänker på vissa "språngfunktioner" som kan verka ha derivatan = 0 överallt, men individuella funktionsvärden kan saknas. Är det inte så att man måste titta närmare på hur de trigonometriska funktioenerna definieras och köra "derivatans definition" på dem? Eller är jag ute och cycklar?

Smaragdalena skrev:
Albiki skrev:
Definiera funktionen $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$ där $x\in\mathbb{R}.$ Funktionens derivata är lika med noll överallt, vilket indikerar att funktionen är konstant vilket betyder att $f(x) = f(0)$ för alla $x\in\mathbb{R}.$ Men $f(0) = 1.$
Hur har du definierat sin(x) respektive cos(x)? Om du har gjort det med hjälp av rätvinkliga trianglar, så är vi tillbaka hos gamle Pythagoras i alla fall.

Rätvinkliga trianglar var förbjudna enligt förutsättning.

Funktionerna definieras som de lösningar till differentialekvationen $y''(x)+y'(x)=0$ som uppfyller dels de två villkoren $y(0) = 0$ och $y'(0)=1$ (ger sinusfunktionen) dels villkoren $y(0)=1$ och $y'(0)=0$ (ger cosinusfunktionen).

grankvisten skrev:
Albiki skrev:
Definiera funktionen $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$ där $x\in\mathbb{R}.$ Funktionens derivata är lika med noll överallt, vilket indikerar att funktionen är konstant vilket betyder att $f(x) = f(0)$ för alla $x\in\mathbb{R}.$ Men $f(0) = 1.$
I sak håller jag med, men egentligen måste man väl också försäkra sig om att derivatan existerar över hela intervallet. Jag tänker på vissa "språngfunktioner" som kan verka ha derivatan = 0 överallt, men individuella funktionsvärden kan saknas. Är det inte så att man måste titta närmare på hur de trigonometriska funktioenerna definieras och köra "derivatans definition" på dem? Eller är jag ute och cycklar?

Det beror på vilken detaljnivå man vill arbeta på. Dina frågor är fullt berättigade, men jag försöker anpassa mina svar till den nivå som jag tror passar bäst till frågeställaren baserat på informationen jag har om denne.

Vad har du för information om mig då? Jag blir mycket nyfiken.

Ja vet i alla fall inte vad en språngfunktion är, nej. Jag vet däremot att definitionsmängden av en funktion kan ändras när den deriveras. Eller jag menar att derivatan kan vara definierad för vissa tal fast inte originalfunktionen är det (eller tvärtom). Men är det relevant? Sinus och cosinus är ju kontinuerliga och beter sig bra, den är glatt tror jag också.

Qetsiyah skrev:
Vad har du för information om mig då? Jag blir mycket nyfiken.
Ja vet i alla fall inte vad en språngfunktion är, nej. Jag vet däremot att definitionsmängden av en funktion kan ändras när den deriveras. Eller jag menar att derivatan kan vara definierad för vissa tal fast inte originalfunktionen är det (eller tvärtom). Men är det relevant? Sinus och cosinus är ju kontinuerliga och beter sig bra, den är glatt tror jag också.

Det jag kan utläsa om dig baserat på dina inlägg på Pluggakuten.

Ja, såklart. Vad för information har du utläst hittills?

Har du inte läst min profil?

Skulle någon kunna hjälpa mig med polygoner, area, enheter och vinklar. Meddela mig.

Mvh

AkutHjälpBehövd, det står i Pluggkautens regler att man inte får skriva inlägg för att uppmana någon att svara i ens trådar. Om du fortsätter bryta mot Pluggakutens regler riskerar du att bli avstängd. /moderator