jacobi Transformation - vad betyder inversen?

Om en transformation tar dig från A till B, hur tar du dig då från B till A?

Ja då blir det inversen. dx/du -> du/dx

Mhh. Varför vill man gå tillbaka så där för kan man inte köra på med f(x,y)->f(u,v) bara. Eller gör man det för att slippa byta integralgränser kanske?

Det verkar väl rimligt att man skall kunna ta sig både fram och tillbaka mellan t ex koordinatsystem istället för bara åt ena hållet :) 

Kan du ge ett konkret exempel på ett variabelbyte som du vill ha förklarat?

Med den formen du skriver upp tar man nämligen inte någon invers, ytelementet blir bara $dxdy=J\ dudv$. Dock så är det ibland mycket krångligt att ta fram alla dessa partiella derivator. Då blir det enklare om man använder en egenskap från linjär algebra, nämligen att inversens determinant är lika med ett genom den ursprungliga determinanten.

Alltså, eftersom de partiella derivatorna i matrisen du skrev ovan ofta är krångliga att räkna ut kan man använda sig av inversens determinant:

$d=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial u}{\partial x}&\dfrac{\partial u}{\partial y}\\\dfrac{\partial v}{\partial x}&\dfrac{\partial v}{\partial y}\end{vmatrix}$

Då vet vi att determinanten vi egentligen eftersöker är ett genom denna determinant, d.v.s.

$dxdy=d^{-1}\ dudv$

emmynoether skrev:

Det verkar väl rimligt att man skall kunna ta sig både fram och tillbaka mellan t ex koordinatsystem istället för bara åt ena hållet :)

 Mhh ja det verkar rimligt ^^ :)

AlvinB skrev:

 

 Men då påverkar det väl slutvärdet på integralen?

Venne ett ex kan väl vara: v=x+y och u=x-y?

Men ser inga svårigheter med dessa partiella derivator.

Nej det blir samma, det är just det som är det fiffiga med det! Om vi börjar med att beräkna den vanliga determinanten:

$x=\dfrac{u+v}{2}$

$y=\dfrac{v-u}{2}$

$\dfrac{\partial x}{\partial u}=\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\partial x}{\partial v}=\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\partial y}{\partial u}=-\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\partial y}{\partial v}=\dfrac{1}{2}$

$\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u}&\dfrac{\partial x}{\partial v}\\\dfrac{\partial y}{\partial u}&\dfrac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\-\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\end{vmatrix}=$ $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}-(-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}$

Men, vi får även samma svar om vi tar ett genom determinanten av inversen.

$\dfrac{\partial u}{\partial x}=1$

$\dfrac{\partial u}{\partial y}=-1$

$\dfrac{\partial v}{\partial x}=1$

$\dfrac{\partial v}{\partial y}=1$

$d=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial u}{\partial x}&\dfrac{\partial u}{\partial y}\\\dfrac{\partial v}{\partial x}&\dfrac{\partial v}{\partial y}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}=$ $1\cdot1-(-1\cdot1)=2$

Sedan tar vi $d^{-1}$, och ser att vi får samma svar,

$d^{-1}=\dfrac{1}{2}$

I detta fall var det ju inte så krångligt att göra det på det övre sättet (dock blev det ännu enklare på det nedre sättet), men om du hade haft ett mer invecklat variabelbyte t.ex. $v=x^3+y^3$ och $u=x^3-y^3$ blir beräkningarna ofantligt mycket enklare genom att använda den nedre metoden.

Gött! Tack för ditt svar!!! Nu förstår jag och kan gå vidare. :)) Sparar denna till senare :)

Tack emmy~~ med =)