Iterativ linjär funktion, ett resultat som inte är rimligt

Hej.

$x_{n} = a x_{n - 1} + b o c h a, b, x_{0} \in ℝ$

Vad är

$\lim_{n \to \infty} x_{n}$

? Jo, det är:

$\lim_{n \to \infty} x_{n} = a (a (a . . . (a x_{0} + b) . . . + b) + b) + b \frac{x_{\infty} - b}{a} = x_{\infty} x_{\infty} = \frac{b}{1 - a}$

------------------------------------

Jag vet inte varför jag inte kan hitta något på google om iterativa funktioner, kallas det ens så? Vad är det ens på engelska? Jag råkade komma på denna fråga och gjorde den såhär, men det känns inte rätt.

Konvergerar för alla $a \neq 1$ ?
Vad den konvergerar mot beror inte av x0?

Du antar existens av gränsvärdet från fjärde till femte raden!

För alla $n \geq 1$ har vi $x_n = a^{n}x_0 + a^{n-1}b + a^{n-2}b + \dots + b = a^{n}x_{0} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} ba^{k}$ (kan visas t.ex. m.h.a. induktion). Om $|a|< 1$ så går den första termen mot noll och summan går mot $\frac{b}{1-a}$ då $n \rightarrow \infty$ . Därmed så går hela uttrycket mot $\frac{b}{1-a}$ . Om $|a| \geq 1$ så konvergerar inte följden. Så det är inte sant att följden konvergerar för alla $a \neq 1$ men det är sant att gränsvärdet inte beror på $x_0$ i de fall då vi har konvergens.

Tror förövrigt man säger "iterated function" på engelska, när man har en sammansättning av en funktion med sig själv upprepade gånger.

"Recurrence sequence" kan vara rätt uttryck.

Svara

Visa senaste svar