Iterationer - bevis

1. $\left|x_n-\alpha \right|=\left|f\left(x_{n-1}\right)-f\left(\alpha \right)\right| följer från \left(3\right) samt \left(2\right)$
2. $\left|f\left(x_{n-1}\right)-f\left(\alpha \right)\right| \le k\left|x_{n-1}-\alpha \right| följer från \left(4\right)$

Kombinera dessa:

$\left|x_n-\alpha \right|\underset{1 }{=}\left|f\left(x_{n-1}\right)-f\left(\alpha \right)\right|\underset{2}{\le }k\left|x_{n-1}-\alpha \right|\underset{1}{=}k\left|f\left(x_{n-2}\right)-f\left(\alpha \right)\right|\underset{2}{\le }k·k\left|x_{n-2}-\alpha \right|\underset{1}{=}k·k\left|f\left(x_{n-3}\right)-f\left(\alpha \right)\right|\underset{2}{\le }k·k·k\left|x_{n-3}-\alpha \right|....$

Det är som VoXx skriver. Notera att VoXx resonemang visar att talföljden $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ konvergerar mot en lösning ($\alpha$) till ekvationen $x=f(x)$ (även kallat en fixpunkt till funktionen $f$). 

Resonemanget som följer därefter talar om hur snabbt talföljden konvergerar mot $\alpha$.