Isomorfismer

Två grupper är isomorfa om de är lika förutom benämningen på elementen.

Men det är inte riktigt den formella definitionen. Funktionen $\varphi: G \rightarrow H$ är en isomorfism och den är inverterbar samt att den uppfyller att

$\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$

för alla element $a, b \in G$.

Uppfyller de funktioner du har dessa krav?

ja grupper ska det vara såklart.

Det är det jag har svårt att bevisa, jag har inte jobbat med uppgifter som denna förut.

Jag är osäker på hur man ska ta börja med uppgifter som dessa. Jag ser att i a uppgiften har vi att G är lika med H som är lika med alla reella tal, men sedan är jag osäker på vad man ska göra med informationen $\varnothing \left(x\right)=3x$

Vi kan ju ganska enkelt se att $\varphi(x) = 3x$ är inverterbar, vi har att inversen är $\varphi^{-1}(x) = x/3$.

Sedan ska den uppfylla att

$\varphi(x + y) = \varphi(x) + \varphi(y)$

(Notera att det bir såhär eftersom gruppen är en addititiv grupp och inte multiplikativ grupp)

Detta betyder alltså att

$3(x + y) = 3x + 3y$

vilket uppenbart är sant för alla $x, y \in \mathbb{R}$. Så slutsatsen är att detta är en isomorfism.

Kan du undersöka samma sak på b där du har en multiplikativ grupp istället?

jag försökte följa samma sätt som i a men om man då undersöker en invers ska man ju undersöka inversen till absolutbeloppet z.

Som jag förstår ska man ställa upp som:

har $\left|z\right|$ någon invers

blir $\left|z\right|\left(x*y\right)=\left|z\right|x*\left|z\right|y$

i så fall är det en isomorf, eller har jag fel?

I b uppgiften får vi att inversen blir $+z$

En funktion har en invers om den är både injektiv och surjektiv. Undersök om $|z|$ är något av detta.

Injektiv betyder att $|z_0| = |z_1| \Rightarrow z_0 = z_1$ och surjektiv betyder att den antar alla värden i målmängden som är $\mathbb{R}_{\neq 0}$.

okej vi kan ju då konstatera att $\left|-2\right|=\left|2\right|$ dock är ju -2 inte lika med 2 såklart. Alltså är $\left|z\right|$ inte injektiv. Surjektiv kan den väl inte heller vara då $\left|z\right|$ inte kan anta några negativa reella tal.

Alltså kan vi väl konstatera att b inte är isomorfisk?

Det är korrekt, den misslyckas katastrofalt att vara inverterbar så det är inte en isomorfi.