Isomorfism mellan grupper

Utmärkt fråga! Det är precis sådana här funderingar som ska dyka upp i huvudet medan man läser en matematisk text, och att stanna upp och faktiskt tänka igenom dem ordentligt (om man har tid...) är en bra vana! 😃

Svaret på frågan är ja! Det finns en grupphomomorfi mellan $G$ och $\mathbb{Z}_p$ som inte är en isomorfi.

Generellt gäller att om vi har två grupper $(G,\star)$ och $(H,\bullet)$, så kan vi alltid bilda den så kallat triviala grupphomomorfin $\varphi:G\to H$ genom att mappa alla element i $G$ till identitetselementet i $H$.

I ditt fall skulle det innebära att vi mappar allt i $G=\{e,a,a^2,...,a^{p-1}\}$ till elementet $[0]$ i $\mathbb{Z}_p$, och detta är ju varken en injektiv eller surjektiv avbildning, så inte ens nära en isomorfi med andra ord! 

Övning: Verifiera att den triviala grupphomomorfin uppfyller definitionen av en grupphomomorfi.

Grymt, tack för svaret!! :D

Lyckades visa att triviala grupphomomorfin uppfyller definitionen av en grupphomomorfi på samma sätt som du gjorde, där centrala delen är att identitetselementet "gånger" sig själv blir identitetselementet.

En fråga jag har angående att det går att hitta en mappning som inte är en isomorfi:

Borde man inte precisera det i ett sånt här bevis och skriva något i stil med att grupperna är isomorfa med avseende på just den här mappningen? Eller är det så att så fort det finns en mappning som gör grupperna isomorfa så ser man grupperna som isomorfa på ett generellt plan? (Utan att precisera den mappning som är en isomorfi med hänsyn till grupperna)

För är det så, så blir jag ju naturligtvis väldigt nyfiken på om det finns något generellt tillvägagångssätt för att hitta en sådan mappnig

Ygolopot skrev:

Grymt, tack för svaret!! :D

Lyckades visa att triviala grupphomomorfin uppfyller definitionen av en grupphomomorfi på samma sätt som du gjorde, där centrala delen är att identitetselementet "gånger" sig själv blir identitetselementet.

En fråga jag har angående att det går att hitta en mappning som inte är en isomorfi:

Borde man inte precisera det i ett sånt här bevis och skriva något i stil med att grupperna är isomorfa med avseende på just den här mappningen? Eller är det så att så fort det finns en mappning som gör grupperna isomorfa så ser man grupperna som isomorfa på ett generellt plan? (Utan att precisera den mappning som är en isomorfi med hänsyn till grupperna)

För är det så, så blir jag ju naturligtvis väldigt nyfiken på om det finns något generellt tillvägagångssätt för att hitta en sådan mappnig

Isomorfi mellan två grupper är en egenskap som bestäms av existensen av en viss typ av funktion mellan grupperna, dvs det räcker om det finns en sådan funktion så är de isomorfa i absolut mening och inte bara med avseende på den funktionen. I princip kan man säga att två isomorfa grupper är samma grupp, bara med olika namn på elementen. Det är liksom det som är abstraktionen i abstrakt algebra.

Att hitta en isomorfi mellan två grupper eller att bevisa att det inte existerar någon isomorfi kan vara ett svårt problem, det kräver lite trial and error och detta kan bli oerhört tidskrävande om grupperna är väldigt stora.

Antag nu att vi har två grupper. Hur avgör vi om de är isomorfa?

Först kan man ställa upp några negativa kriterier:

1) Två isomorfa grupper är lika stora. Viktigaste kriteriet, men ofta underförstått, är de olika stora är isomorfi omedelbart uteslutet.

2) Två isomorfa grupper är antingen båda abelska eller icke-abelska.

3) Om två grupper är isomorfa och det i den ena gruppen finns n element av ordning k så finns det n element av ordning k även i den andra gruppen. Så om man exempelvis jämför Z4 med Z2*Z2 (Klein Viergruppe) så ser man att de inte är isomorfa eftersom Z4 innehåller ett element av ordning 4 och Z2*Z2 inte innehåller något element av ordning 4.

4) Om två grupper är isomorfa och det i den ena gruppen finns n delgrupper av storlek k så finns det n delgrupper av storlek k även i den andra gruppen. Återigen kan vi jämföra Z4 och Z2*Z2, i den ena finns en delgrupp med 2 element, i den andra 3 delgrupper med 2 element. 

Vidare finns ett stort antal så kallade klassifikationssatser, satser som säger att två grupper är isomorfa under vissa villkor. Den viktigaste av dessa klassifikationssatser är precis den i din post ovan, om p är primtal så är två grupper av ordning p isomorfa.

Annars kan man explicit försöka hitta en isomorfi by trial. Det naiva sättet att göra det är att testa alla bijektioner. Men för grupper av storlek n finns n! bijektioner så det blir snabbt ogörbart, i och för sig avbildar isomorfier alltid identitetselement på varandra så snarare (n-1)! men fortfarande totalt ohållbar metod för rimligt stora n.

Bättre metod är följande: en isomorfi avbildar en genererande mängd på en genererande mängd, och en isomorfi är entydigt bestämd av hur den agerar på en generande mängd. Så i praktiken behöver man bara hitta en generande mängd till den ena gruppen (och det finns alltid en generande mängd av storlek max ${\log }_2\left(n\right)$i en grupp med n element), undersöka de funktioner som avbildar den generande mängden på en generande mängd av samma storlek i den andra gruppen och undersöka om någon av dessa funktioner är en isomorfi. Men även denna metod blir ogörbar för tillräckligt stora grupper.

Observera att beviset av sats 19.3 i din bok i princip är en tillämpning av denna metod. Grejen är alltså att i en grupp av ordning p så är, pga Lagrange, varje icke-identitetselement en generande mängd.

Stort tack för det utförliga svaret. Gav mig en hel del insikter att jobba vidare med!

En följdfråga att fundera på i ljuset av Smutsmunnens svar:

Hur många grupphomomorfier finns det från vår grupp grupp $G=\{1,a,a^2,\ldots,a^{p-1}\}$ till $\mathbb{Z}_p$? Hur många av dessa homomorfier är isomorfier, och hur många är inte isomorfier? (Vi vet redan att den triviala grupphomomorfin som vi diskuterade ovan är ett exempel på en homomorfi $G\to\mathbb{Z}_p$ som inte är en isomorfi, men finns det fler?)