Isomorfism

Har jag gjort rätt i följande bevis?

Jag skall visa att de två grupperna $(G, \circ)$ och $(G, ⋄)$ är isomorfa. Vidare gäller $a \circ b = b ⋄ a \forall a, b \in G$ .

Vi har alltså en avbildning $φ : G \to G$ som ges av $φ (x) = x$ . Detta är väl den s.k. identitetsavbildningen? Den har en invers, vilket innebär att den är bijektiv.

Då gäller $\forall a, b \in G$

$φ (a \circ b) = a \circ b = b ⋄ a = φ (b) ⋄ φ (a)$

Att avbildningen är bijektiv samt att $φ (a \circ b) = φ (b) ⋄ φ (a)$ ger då att grupperna är isomorfa.

Stämmer detta? Borde jag inte ha fått att $φ (a \circ b) = φ (a) ⋄ φ (b)$ , d.v.s. en annan ordningsföljd, eller har detta ingen betydelse?

Nej, det stämmer inte. Du måste få motsatt ordningsföljd. Det har betydelse.

Testa phi(x)=x^-1 istället.

Nej det räcker tyvärr inte. Isomorfin måste vara en homomorfi och uppfylla det sista du skrev, $\phi(a \circ b) = \phi(a) \diamond \phi(b)$ . I allmänhet så gör det ju skillnad i grupper vilken ordning man multiplicerar sina element.

Jag tänker så här: det känns intuitivt tydligt att grupperna är isomorfa, man har ju bara bytt ordning på gruppoperationen. Jag skulle därför tänka att man behöver hitta en isomorfi som speglar det här bytet av ordning. Identitetsavbildningen gör inte det men man kanske kan hitta någon annan avbildning som gör det?

Ledtråd: $(a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1}$ (ser du hur ordningen byttes när jag tog inversen?).

Okej. I det här fallet var det ju kanske inte så svårt att hitta en avbildning, men finns det något sätt att hitta en sådan, eller gäller det att ha tålamod och uppfinningsrikedom?

Tålamod vet jag inte hur mycket det hjälper men uppfinningsrikedom/fantasi/kreativitet och erfarenhet är väl det som hjälper. Och att tänka på vad man kan göra med givna förutsättningar, i en grupp kan man multiplicera och ta invers, det är inte så mycket mer att välja på.

Svara

Visa senaste svar