Isometrisk avbildning
Hej,
Jag har till uppgift att lösa följande problem:
Givet en ON bas i planet. En isometrisk avbildning F är en avbildning som bevarar skalärprodukten, dvs F(u|F(v)) = (u|v).
Antag att en sådan avbildning avbildar (1,0)t på (0,1)t. Vilka är de möjliga bilderna av (1,1)t?
Jag förstår inte riktigt beteckningen här: F(u|F(v)) = (u|v)
När det kommer till hur jag försökt lösa uppgiften så har jag satt in följande:
F(u|(0,1)) = (u|(1,0))
Jag ser dock inte riktigt hur jag ska ta mig vidare ifrån detta. Rent geometriskt så förstår jag att alla möjliga bilder av (1,1)t ges av alla punkter som ligger på en cirkel med radie sqrt(2). Men jag antar att inte alla punkter på den cirkeln uppfyller det villkoret som avbildningen beskriver i uppgiften ovan, dvs att (1,0)t avbildas på (0,1)t.
Tack.
Ska inte f vara innanför parentesen? Isf får jag det till något sånt här
Det tänkte jag med, men så stod det inte i uppgiften. Kanske blivit ett feltryck. Tack iallafall.
Så, eftersom y = 1, så kan vi välja x godtyckligt.
De möjliga bilderna av (1,1)t bör då ges av alla vektorer u sådana att de uppfyller att u = (0,1)t + k(1,0)t för något reellt tal k?
Har jag förstått det rätt?
Det räcker inte att skalärprodukten till en vektor bevaras, du behöver 2 st i ett plan. Men eftersom vi inte har någon mer punkt avbildad får du använda det du skrev först om cirkeln som extra krav istället.
Vad menar du med att vi behöver 2 st i ett plan?
Jag menar att vi har 2 okända (x och y) så vi behöver 2 andra vektorer att jämföra med för att kunna säga att skalärprodukten till alla andra vektorer blir samma. Precis som att man behöver veta var 2 olika punkter avbildas för att veta avbildningsmatrisen i 2d, och 3 st i 3d osv.
