Irreducibelt polynom

Jag behöver hjälp med att förstå och lösa denna uppgift:

Jag har förstått att man först ska hitta rötter till polynomet. Så, vi har att f(x)= $x^{4} + 2$ och jag undersöker när f(x)=0. Jag får att,

f(0)=2 $\neq$ 0 i $ℤ_{3}$

f(1)=3 = 0 i ℤ3

f(2)=18=0 i ℤ3

f(3)=83≠0 i ℤ3

Så då har vi att 1 och 2 är en rot till f(x).

Hur ska jag nu faktorisera f(x) i irreducibla faktorer?

Använd polynomdivision.

$x^{4} + 2 = (x - 1) (x - 2) g (x) = (x^{2} - 3 x + 2) g (x) = (x^{2} + 2) g (x) e f t e r s o m 3 x = 0 i ℤ_{3} g (x) g å r a t t h i t t a m e d p o l y n o m d i v i s i o n$

Laguna skrev:
Använd polynomdivision.

jag fick att $x^{4} + 2 = (x^{2} - 3 x + 2) (x^{2} + 3 x + 7) + (15 x - 12)$

Okej så nu har jag faktoriserat polynomet, vad ska jag göra nu?

I $ℤ_{3} g ä l l e r 3 x = 0 f ö r a l l a x .$

henrikus skrev:
I $ℤ_{3} g ä l l e r 3 x = 0 f ö r a l l a x .$

$F å r v i d å a t t x^{4} - 2 = (x^{2} + 2) (x^{2} + 7) d å i ℤ_{3} g ä l l e r d e t a t t 3 x = 0, 15 x = 0 o c h 12 = 0$ ?

Ja, men du är inte klar än. 7=? Vad hände med rötterna 1 och 2?

$(x - 1) (x - 2) (x^{2} + 3 x + 7) + (15 x - 12)$ och detta är samma sak som $(x + 2) (x + 1) (x^{2} + 1) + 0 i ℤ_{3}$ ? Jag är lite förvirrad :/

Du måste även verifiera att $x^{2} + 1$ är irreducibelt men det gör du lätt!

Jag tänkte precis fråga hur man vet att uppdelningen är i irreducibla faktorer. Varför är $x^{2} + 1$ irreducibelt?

Om $x^{2} + 1$ är reducibelt måste det ha rötter i $ℤ_{3}$

Jag har inte riktigt förstått vad reducibelt och irreducibelt innebär. Skulle du kunna ge en förklaring vad begreppen innebär?

Och, om ett polynom har rötter innebär det att den då är reducibel?

Reducibelt innebär att det går att faktorisera med koefficienter i $ℤ_{3}$ .

Ja, om ett polynom har rötter (= nollställen) är det reducibelt. Så för att utreda om $x^{2} + 1$ är reducibelt behöver man bara sätta in de möjliga värdena på x och se om det blir noll. Precis som du gjorde förut för hela polynomet.

okej tack för hjälpen!!

Svara

Visa senaste svar